Реферат: Одномерная оптимизация функций методом золотого сечения
1. Построить блок-схему алгоритма.
2. Написать программу в среде MatLab.
3. Изучить строенные функции пакета MatLab, позволяющие решать задачи одномерной оптимизации (нахождение минимума и максимума функций) методом золотого сечения.
4. Провести серию тестов, используя написанную программу и встроенные функции. Построить графики исследованных функций. Проанализировать результаты решений.
Тестовые функции:
а) f(x) = 
б) f(x) = arctg(sinx- cosx);
в) f(x) = 
+x2 .
2. Содержание расчетно-пояснительной записки
2.1 Теоретическая часть
Целью данной курсовой работы является изучение и приобретения навыков работы в языке для технических расчетов MatLab.
Необходимо создать программу для решения задачи одномерной оптимизации (нахождение минимума и максимума функций) методом золотого сечения и построить графики исследованных функций. Так же необходимо изучить работу встроенных в MatLab функций.
Протестировать программу на серии тестов.
Теоретическое описание
Одномерная оптимизация функций методом золотого сечения
Метод золотого сечения состоит в построении последовательности отрезков [a0 , b0 ], [a1 , b1 ], …,стягивающихся к точке минимума функции f(x). На каждом шаге, за исключением первого, вычисление значения функции f(x) проводится лишь один раз. Эта точка, называемая золотым сечением, выбирается специальным образом.
На первом шаге процесса оптимизации внутри отрезка [a0 , b0 ] выбираем две внутренние точки x1 и x2 и вычисляем значения целевой функции f(x1 ) и f(x2 ). Поскольку в данном случае f(x1 ) < f(x2 ), очевидно, что минимум расположен на одном из прилегающих к x1 отрезков [a0 , x1 ] или [x1 , x2 ]. Поэтому отрезок [x2 , b0 ] можно отбросить, сузив тем самым первоначальный интервал неопределенности.
Второй шаг проводим на отрезке [a1, b1 ], где a1 = a0 , b1 = x2 . Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них (x1 ) осталась из предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать лишь одну точку x3 , вычислить значение f(x3 ) и провести сравнение. Поскольку здесь f(x3 ) > f(x1 ), ясно, что минимум находится на отрезке [x3 , b1 ]. Обозначим этот отрезок [a2 , b2 ], снова выберем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределенности. Процесс оптимизации повторяется до тех пор, пока длина очередного отрезка [an , bn ] не станет меньше заданной величины ε.
Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек на каждом от резке [ak , bk ]. Пусть длина интервала неопределенности равна l, а точка деления делит его на части l1 , l2 : l1 > l2 , l = l1 + l2 . Золотое сечение интервала неопределенности выбирается так, чтобы отношение длины большего отрезк к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка: 
(1)
Из этого соотношения можно найти точку деления, определив отношение l2 /l1 . Преобразуем выражение (1), и найдем это значение:
l
=l2 l1 , l=l2 (l1 + l2 ),
l
+l1 l2 - l=0,
2 +
- 1 =0,
=
.
Поскольку нас интересует только положительное решение, то
.
Отсюда l1 
k1 l, l2 k2 l.
Поскольку заранее неизвестно, в какой последовательности делить интервал неопределенности, то рассматривают внутренние точки, соответствующие двум этим способам деления. Точки деления x1 и x2 выбираются с учетом полученных значений для частей отрезка. В данном случае имеем
x1 – a0 = b0 – x2 = k2 d0 ,