Реферат: Определители Решение систем линейных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1)^k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение элемента а _{i j} обозначается А _{i j} .

Таким образом, А _{i j} = .

Выпишем алгебраические дополнения для элементов а ₁₁ и а _12.

.

.

Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .

ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:

Миноры:

Алгебраические дополнения:

Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.

Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.

.

В развернутом виде:

.

Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.

Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.

Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.

Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.

ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.

использовали разложения по второй строке.

Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.

Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.

3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.

1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(3)

Здесь х _1, х ₂ – неизвестные;

а ₁₁ , …, а ₂₂ – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.

b ₁ , b ₂ – свободные члены.