Реферат: Осесиметричні коливання дискретно підкріплених оболонкових елементів конструкцій на пружній основі при імпульсних навантаженнях

, . (12)

Проведений аналіз показав, що модель Пастернака більш адекватно описує взаємодію пружного навколишнього середовища з оболонкою ніж модель Вінклера.

У третьому розділі розглядаються чисельні алгоритми розв'язування нестаціонарних динамічних задач теорії підкріплених оболонок на пружній основі. Чисельний алгоритм розв'язування нестаціонарних задач теорії підкріплених оболонок базується на застосуванні інтегро – інтерполяційного методу побудови скінченно – різницевих схем по просторовій координаті та явній скінченно – різницевій схемі типу „хрест” по часовій координаті. В силу вихідної постановки задач (врахування дискретності розміщення ребер) шукається чисельний розв’язок в гладкій області – рівняння (4) та на лініях розташування ребер – рівняння (5).

Вихідна група рівнянь, що описує динамічну поведінку неоднорідної оболонкової структури на пружній основі представляє собою дві системи рівнянь. Одна з них – це рівняння коливань підкріплених оболонок обертання (рівняння коливань гладкої оболонки на пружній основі – рівняння (4) та рівняння коливань ребер – співвідношення (5)), друга – співвідношення узагальненого закону Гука для кожного з вказаних елементів. Перехід від неперервної системи рівнянь до скінченно – різницевих виконується в два етапи. Перший етап полягає в скінченно – різницевій апроксимації дивергентних рівнянь коливань в зусиллях – моментах, що базується на застосуванні інтегро – інтерполяційного методу апроксимації рівнянь коливань оболонки та ребер. Другий етап апроксимації рівнянь полягає у виборі енергетично погодженихскінчено – різницевихапроксимаційвеличин зусиль – моментів і відповідних величин деформацій, щоб виконувався закон збереження повної механічної енергії на різницевому рівні.

Виходячи з того, що явні скінченно – різницеві схеми є умовно стійкими, для випадку підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі проведено дослідження стійкості відповідних різницевих рівнянь і отримано необхідну умову стійкості скінченно – різницевих рівнянь , де – максимальна частота вільних коливань дискретного елементу.

Для розв’язку зв’язаних задач – рівняння (6) – (8), побудовані чисельні алгоритми, які базуються на застосуванні скінченно – різницевих схем Мак – Кормака. У випадку задачі взаємодії циліндричної оболонки з ґрунтовим середовищем різницеві схеми Мак – Кормака (13)-(16).

У четвертому розділі розроблена та апробована методика розрахунку динаміки оболонок обертання на пружній основі дала можливість дослідити динаміку дискретно підкріплених циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі. Дана геометрично нелінійна постановка задач динаміки підкріплених циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі з врахуванням дискретного розміщення ребер. Аналіз чисельних розрахунків дискретно підкріплених циліндричних оболонок на основі Вінклера та сферичних оболонок на основі Пастернака показує, що різниця між максимальними значеннями прогинів та напружень за рахунок пружного середовища може сягати 20 – 30%.

Наведена постановка задач для циліндричних оболонок на пружній основі Вінклера та зв’язаних задач – циліндрична оболонка в нелінійному ґрунтовому середовищі при внутрішньому осесиметричному імпульсному навантаженні. Використовуючи алгоритми, розроблені в Розділі 3, отримані чисельні розв’язки поставлених задач. Виходячи з аналізу структури рівнянь циліндричних оболонок на пружній основі та в ґрунтовому середовищі і, спираючись на їх подібність запропонована оцінка коефіцієнта ґрунтової основи Вінклера за допомогою формули , де величини і визначаються з розв'язку зв’язаної задачі; - час досягнення . Порівняльний аналіз розв’язків подібних задач показав працездатність запропонованої формули.

Детально визначено вплив складу трьохкомпонентного середовища на характер розповсюдження хвильових процесів в ґрунтовому середовищі і динамічної поведінки циліндричних оболонок при імпульсному навантаженні. Звертає увагу на себе той факт, що незначне збільшення повітряної складової значно впливає на частоти, швидкість і затухання амплітуд динамічних процесів.

Подібні дослідження проведено для сферичної оболонки на пружній основі Вінклера і зв’язаної задачі нелінійне ґрунтове середовище – сферична оболонка. Подібність структури рівнянь сферичних оболонок на пружній основі та в ґрунтовому середовищі також дозволили провести оцінку коефіцієнта Спружної основи Вінклера за допомогою формули наведеної вище. З проведених розрахунків слідує, що вплив пружної основи на напружено деформований стан оболонки починає проявлятися після часу досягнення напруженнями свого максимального значення.

Чисельні розрахунки проводилися для випадку підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі згідно моделі Вінклера при внутрішньому нормальному імпульсному навантаженні. Покладалося, що краї оболонки жорстко защемлені. Початкові умови нульові.

Осесиметричні коливання підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі розглядалися при наступних геометричних та фізико – механічних параметрах:

L/h= 80; R/h= 10; E= 7.10¹⁰ Па; = 0,3; = 2700 кг/м³ ; A= 10⁶ Па; C= 4,6.10¹⁰ Н/м³ .

Нормальне імпульсне навантаження задавалося у вигляді

,

де – амплітуда навантаження, – тривалість навантаження. В розрахунках покладалося

. Підкріплюючі ребра розташовані на лініях. Коефіцієнт Вінклера визначався згідно запропонованої методики при розв'язку зв’язаної задачі циліндрична оболонка – ґрунтове середовище. Водонасичений грунт розглядався з параметрами

(газова складова); (рідинна складова); (тверда складова).

На рис.1 та рис.2 приведено залежності величин прогину та напруження в залежності від просторової координати в момент часу . Криві з індексом 1 відповідають випадку врахування основи Вінклера, криві з індексом 2 – без врахування основи. Різниця по максимальним значенням величин та сягає порядку 50%. Чітко проявляються лінії знаходження ребер.

Розглядалася аналогічна задача динаміки підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі Вінклера з коефіцієнтом Н/м³ при внутрішньому імпульсному навантаженні. Ребра розташовані на лініях. Коефіцієнт Вінклера вибирався згідно вище вказаної методики розв’язування зв’язаних задач циліндрична оболонка – грунтове середовище. Водонасичений грунт розглядався з параметрами (газова складова); (рідинна складова); (тверда складова). На рис.3 та рис 4. приведено залежності величин та в залежності від просторової координати в моменти часу (крива 1) та (крива 2). На рисунках чітко проявляються лінії розташування підкріплюючих ребер.

Розглядалася задача про вимушені осесиметричні коливання підкріпленої сферичної оболонки в рамках моделі Пастернака (двохпараметрична модель пружної основи). Розглядався сферичний сегмент в області . Приймалися умови жорсткого закріплення по краям. Початкові умови нульові. Коефіцієнти моделі і при розрахунках вибирались з відомих літературних джерел. Покладалося, що сферичний сегмент підкріплено чотирма ребрами. Задача розв’язувалася при наступних геометричних та фізико – механічних параметрах:

Нормальне імпульсне навантаження задавалось у вигляді

,

де – амплітуда навантаження, – тривалість навантаження. В розрахунках покладалося

.

На рис.5 та рис. 6 приведено залежності величин та від просторової координати. На рис.5 крива 1 відповідає часу , крива 2 –. На рис.6 крива 1 відповідає часу , крива 2 –. Як і в попередніх задачах, чітко проявляються лінії розташування ребер –.

На рис.7 та рис.8 наведено залежності величин та в перерізі від часової координати . Крива 1 відповідає результатам динамічної поведінки підкріпленої оболонки по моделі Пастернака, крива 2 – без врахування пружної основи. Як бачимо з графічного матеріалу, різниця між результатами проявляється по часу починаючи з часу .

Для порівняння результатів розрахунків розглядалася гладка сферична оболонка на пружній основі Пастернака. Розглядалася аналогічна задача динамічної поведінки сферичного сегменту на пружній основі при імпульсному навантаженні. На рис.9 приведено результати розрахунків для величин в залежності від часу в перерізі . Як видно з приведеного графічного матеріалу, різниця між результатами розрахунків починає проявлятися по часу з .

Також, в четвертому розділі показано, що достовірність одержаних в роботі результатів визначається коректністю постановок задач; теоретичним обґрунтуванням скінчено – різницевих схем, які використовуються; контрольованою точністю та практичною збіжністю чисельних розрахунків; проведенням тестових розрахунків і порівнянням їх результатів з відомими в літературі; відповідністю встановлених закономірностей загальним властивостям коливань тонкостінних елементів конструкцій.