Реферат: Оцінювання параметрів розподілів
Звичайно використовують рівень надійності, що має значення: 0,95; 0,99 і 0,999.
Довірчим називають інтервал ( ), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю
.
1 Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому . Розглянемо задачу інтервальної оцінки невідомого математичного сподівання
кількісної ознаки
по вибірковій
середній нормально розподіленої сукупності з відомим середньо квадратичним відхиленням
. Знайдемо довірчий інтервал, що покриває параметр
з надійністю
.
Вибіркова середня змінюється від вибірки до вибірки. Тому її можна розглядати, як випадкову величину
, а вибіркові значення ознаки
,
, ... ,
(ці числа також змінюються від вибірки до вибірки) – як однаково розподілені незалежні випадкові величини
,
, ... ,
. Тобто, математичне сподівання кожної з цих величин дорівнює
і середнє квадратичне відхилення –
.
Можна показати, що у разі нормального розподілення випадкової величина вибіркова середня
, знайдена за незалежними спостереженнями, також розподілена нормально з параметрами:
,
. (12)
Поставимо вимогу, щоб було виконано співвідношення
, (13)
де – задана надійність.
Застосуємо до нормально розподіленої випадкової величини відому з теорії ймовірностей формулу про ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини
зі середньоквадратичним відхиленням
від його математичного сподівання
не більше ніж на
, (14)
де – табульована функція Лапласа (3).
При цьому у формулі (14) відповідно до (12) необхідно замінити на
,
на
, залишивши математичне чекання
без зміни.
Тоді одержимо:
, (15)
де введено таке позначення
. (16)
Підставивши у формулу (15) вираз величини через
з (16)
, (17)
перетворивши її до вигляду:
.
З огляду на те, що ймовірність задана і дорівнює
(13), а також, що випадкова величина
є формальним поданням вибіркової середньої
, остаточно одержимо:
. (18)
Цю оцінку називають класичною. Відповідно до неї з надійністю можна стверджувати, що довірчий інтервал
покриває невідомий параметр
. При цьому величина
визначається з рівності (18), а точність оцінки
– з (17).
З формули (17) видно, що із зростанням обсягу вибірки величина
зменшується, тобто точність оцінки підвищується. З співвідношення (18), де
, із врахуванням відомого зростаючого характеру функції Лапласа
(3), випливає, що підвищення надійності класичної оцінки (18) призводить до погіршення її точності.
2 Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому . Ускладнимо постановку задачі, розглянутої в попередньому пункті, вважаючи, що тепер середнє квадратичне відхилення
нормально розподіленої кількісної ознаки
невідомо.
У цьому випадку за даними вибірки побудуємо випадкову величину (її значення будемо традиційно позначати відповідною малою буквою
), що є функціональним перетворенням випадкової величини
, введеної в попередньому пункті:
. (19)
Тут збережено позначення, які введені в попередньому пункті. Крім того, вжито , що є "виправлене" середнє квадратичне відхилення (1.7).