Реферат: Оцінювання параметрів розподілів
,
Де
,
– Гама-функція Эйлера (2.4).
Очевидно, що розподіл Стьюдента визначається параметром – обсягом вибірки та не залежить від невідомих параметрів і , що зумовило його практичну цінність. Оскільки функція є парною відносно , ймовірність виконання нерівності можна перетворити таким чином:
.
При заміні нерівності в круглих дужках на еквівалентну йому подвійну нерівність і заміні на так само, як у попередньому пункті, остаточно одержимо:
.
Тобто, використовуючи розподіл Стьюдента, можна знайти довірчий інтервал , що покриває невідомий параметр із надійністю . Величина при цьому знаходиться в таблиці розподілу Стьюдента у залежності від значень параметрів і .
3 Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного відхилення нормального розподілу. Тепер вирішимо задачу інтервальної оцінки з надійністю невідомого генерального середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої кількісної ознаки за його "виправленим" вибірковим середньо квадратичним відхиленням s. Це означає, що має виконуватися умова:
чи, що те ж саме,
. (20)
Подвійну нерівність у виразі (20) зручно перетворити до вигляду:
(21)
, (22)
де введено позначення
(23)
і враховано, що відхилення відносно , тобто – мала величина в порівнянні з , так що .
Вибіркове середнє квадратичне відхилення змінюється від вибірки до вибірки, тому його можна розглядати як випадкову величину, що ми дотримуючись традиції позначимо відповідною великою літерою . Помноживши всі члени останньої нерівності (22) на , одержимо нову нерівність
,
що після введення позначення
(24)
прийме остаточний вигляд:
. (25)
Відзначимо, що нерівності (21) і (25) еквівалентні. Тому рівність (20) можна тепер переписати так:
. (26)
Пірсон показав, що величина (24) після її підвищення до квадрату, тобто у вигляді , підкоряється закону розподілу "хі-квадрат" (5), тому і має таке позначення. Можна показати, що щільність розподілу самої випадкової величини має при цьому наступний вигляд: