I. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

II. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

III. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.



П. Найдите градусную меру угла КАВ, если ABC = 58°.

Решение. Угол КАВ образует пару внутренних односторонних углов с углом ABC при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому KAB + ABC = 180°, откуда KAB = = 180° - 58° = 122°.

III. Найдите градусную меру угла LBC, если KAB = 122°.

Решение. Угол LBC образует пару соответственных углов с углом КАВ при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому КАВ = LBC = 122°.

6. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Решить треугольник по двум сторонам и углу между ними — это значит при заданных двух сторонах и углу между ними найти третью сторону и два других угла.



Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников:

если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

7. Задача по теме «Неравенство треугольника».

Расстояния от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Дано: АВ = 3 см, АС = 14 см, DB = 5 см, DC = 6 см.



Доказать: точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Доказательство 1. Предположим, что точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки А и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, точки А и D (рис. а) лежат в разных полуплоскостях (рис. б). Доказательство для обоих случаев аналогично.

Из треугольника ABC в силу неравенства треугольника следует, что АС < АВ + ВС; 14 < 3 -I- BC; т. е. ВС > 11. Из треугольника ABD следует неравенство ВС < BD + DC = 5 + 6, т. е. ВС < 11. Пришли к противоречию, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Доказательство 2. Воспользуемся неравенством треугольника, которое состоит в следующем: для любых трех точек Р, Q и R PR < PQ + QP, причем PR = PQ + QR в том и только в том случае, когда точка Q лежит между Р и R.

Тогда ВС
< 14 е. т. АВ АС 11,>
Кроме того, АС = АВ + ВС =14, так что точка В лежит между А и С на прямой ВС. Но тогда и А лежит на прямой ВС.

Таким образом, все четыре точки лежат на прямой ВС, что и требовалось доказать.

8. Третий признак равенства треугольников (формулировка и пример).

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пример.

По рисунку докажите равенство треугольников ВАС и DAC, если АВ = AD, ВС = DC (рис. 8).

В треугольниках ВАС и DAC АВ = AD, ВС = DC по условию, АС — общая сторона. Следовательно, BAC = DAC по трем сторонам.

9. Теорема об углах, вписанных в окружность.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

[П] Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Дано: ABC — вписанный, О — центр окружности.





Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 9, а).

Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 9, б, в).

В случае, представленном на рисунке 9, б,



[А] Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: ABC — вписанный, О — центр окружности, АС соответствует ABC (рис. 10).

10. Задача по теме «Площадь».

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

Решение. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то катеты каждого из этих треугольников равны 3 см и 4 см;

11. Задача по теме «Трапеция».

12. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

Примеры.

1. В треугольнике один из углов равен 29°, другой 91°. Найдите его третий угол.

Решение. Третий угол треугольника равен

180° - (29° + 91°) = 180° - 120° = 60°.

2. Найдите острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° - 90° = 90°. Так как острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны, то каждый из них равен 90° : 2 = 45°.

3. Найдите углы равностороннего треугольника.

Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма углов равностороннего треугольника равна 180°. Так как в равностороннем треугольнике все углы равны, то каждый из них равен 180° : 3 = 60°.

13. Решение треугольника по трем сторонам.

Решить треугольник по трем сторонам — это значит по трем заданным сторонам треугольника найти его углы.





Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

14. Задача по теме «Средняя линия трапеции».

15. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите: а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а;

б) катеты треугольника а и Ь если даны гипотенуза с и один из острых углов а (рис. 12).





2. На вершину горы идет канатная дорога длиной 1,2 км, составляющая угол 60° с высотой горы. Чему равна высота горы?

Решение. Обозначим длину канатной дороги через с, высоту горы через Л, а угол между канатной дорогой и высотой горы через (3 (рис. 13).

Дано: с = 1,2 км, р = 60°.

Найти: h.

Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому а = 30°. Отсюда

16. Свойство углов равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

[П] В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: ABC — равнобедренный треугольник, АВ — основание (рис. 14).

Доказать: угол А = угол В.

Доказательство. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства

17. Задача по теме «Подобие треугольников».

18. Задача по теме «Параллелограмм».

В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.

19. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите:

а) гипотенузу с и катет а, если даны катет Ъ и прилежащий к нему угол а;

б) катеты треугольника а и Ь, если даны гипотенуза с и один из острых углов а (рис. 16).



2. Угол между лестницей эскалатора и полом зала равен 150°. Какова длина лестницы эскалатора, если подошва лестницы равна 117м?

20. Признак равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

[П] Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.



Доказательство. Так как в треугольнике два угла равны, то равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный.

21. Задача по теме «Подобие треугольников».

22. Задача по теме «Прямоугольник».

Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.

23. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего

катета к прилежащему:

о

Примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите:

а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а;

б) гипотенузу с и катет а, если даны катет ь и прилежащий к нему угол а (рис. 20).



2. Под каким углом падает на землю луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землей на 18 м и отбрасывает тень, равную 6 73 (рис. 21)?

Обозначим длину шеста через а, длину тени шеста через Ь, а угол, под которым на землю падает луч солнца, через а.

24. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22).

Доказать: CD — биссектриса и высота.

Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).

Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:



Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

25. Задача по теме «Подобие треугольников».

26. Задача по теме «Ромб. Квадрат».

Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

Дано: ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей ромба.

Доказать: О — центр вписанной окружности.

Доказательство. Треугольники ABO, ADO, CBO и CDO — прямоугольные (так как ABCD — ромб) и равны по гипотенузе и катету. Следовательно, и высоты OF и ОЕ проведенные из вершин пря мых углов, равны. Значит, основания высот лежат на окружности с центром О. Так как высоты, проведенные из вершин прямых углов, перпендикулярны сторонам ромба, то окружность с центром О — точкой пересечения диагоналей ромба — и радиусом, равным расстоянию от точки О до сторон ромба, касается сторон ромба. Следовательно, в ромб можно вписать окружность.

27. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов катетов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

28. Окружность, вписанная в треугольник.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

[П] Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Дано: АВС — данный треугольник; О — центр вписанной в него окружности; D, Е и F — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 27).

Доказать: О — точка пересечения биссектрис.

Доказательство. Прямоугольные треугольники AOD иАОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза ОА — общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух биссектрисах треугольника.

[А] Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность.



Дано: A ABC — данный треугольник, О — точка пересечения биссектрис, М, L и К — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 28).

Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС.

Доказательство. Проведем из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 28). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то О К = OL = = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K L M. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

29. Задача по теме «Параллельные прямые».

30. Задача по теме «Теорема Пифагора».

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то

31. Теорема синусов. Пример ее применения для решения треугольников.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 29):

Пример.

Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45°, а противолежащий основанию угол равен 60°. Найдите сторону, противолежащую углу в 45°.

32. Окружность, описанная около треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

[П] Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Дано: АВС — данный треугольник; О — центр описанной около него окружности (рис. 30).

Доказать: О — точка пересечения серединных перпендикуляров.



Доказательство. Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны О А и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.

Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

[А] Теорема об окружности, описанной около треугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Дано: АВС — данный треугольник; О — точка пересечения серединных перпендикуляров (рис. 31).

Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС.

Доказательство. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, тоОА = OB — ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

Замечание. Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

33. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

34. Задача по теме «Трапеция».