Реферат: Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Передатна функція приведеної безупинної частини:

.

Дискретну передатну функцію розімкнутої системи знаходимо відповідно до методики, викладеної вище:

. (5)

Різницеве рівняння розімкнутої системи визначаємо, у разі потреби, безпосередньо з (5):

Знаючи W (z), легко знайти основну передатну функцію замкнутої системи:

. (6)

Динамічні процеси в замкнутій імпульсній системі описуються таким різницевим рівнянням, отриманим з (6) шляхом переходу до оригіналів:

.

2. Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи

Необхідною умовою працездатності імпульсної системи є її стійкість. Відомі з попередніх лекцій основні визначення стійкості безупинних систем застосовні і до імпульсних систем, але з урахуванням ряду особливостей цих систем.

Звернемося до основного формулювання умови стійкості: імпульсна система стійка, якщо її власний рух з часом загасає.

Як уже відзначалося, на практиці часто обмежуються визначенням дискретної функції X_ВИХ (n) на виході системи. Це рішення можна одержати, наприклад, з формули (4) у вигляді суми вільної і змушеної складової:

Таким чином, умову стійкості системи варто записати так:

Оцінку стійкості імпульсної системи, як і безупинної, звичайно роблять на підставі дослідження характеристичного рівняння замкнутої системи, яке одержують з (3):

(7)

Це алгебраїчне рівняння має m коренів z_i на площині z. Але, оскільки перемінна z з'явилася в зв'язку з підстановкою , то кожен корінь z_i зв'язаний з коренями p_i на площині p залежністю

Легко помітити, що нульовому кореню, наприклад, p₁ =0, відповідає корінь z_i =1, а кореням p_t з негативними дійсними частинами відповідають корені:

Тепер можна дати формулювання математичної умови стійкості: імпульсна автоматична система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння (7) лежать усередині кола одиничного радіуса, побудованого на початку координат комплексної площини z (рис. 1, точки z₁ ,, z₂ ,,z₃ , z₄ , z₅ ).

Якщо хоча б один з коренів лежить на колі з радіусом R = 1, то система знаходиться на межі стійкості (рис. 2, точка z₆ ).

За наявності коренів система хитлива (рис. 1, точка z₇ ).

Рисунок 2 – Комплексна площина Z

Визначення коренів характеристичного рівняння (7) при m ³ 3 поєднано з відомими труднощами. Тому на практиці знаходять застосування непрямі оцінки — критерії якості, що дозволяють оцінювати стійкість імпульсних систем без визначення коренів.

До імпульсних систем можна застосувати кожен з відомих критеріїв стійкості безупинних систем. Однак для цього попередньо необхідно зробити білінійне перетворення полінома М(z) у поліном М(w) за формулою

. (8)

Таке перетворення дозволяє відобразити одиничне коло площини Z (рис. 2) у ліву частину комплексної площини p, аналогічну області стійкості безупинних систем на площині p.