Реферат: Площади в геометрии
a=
Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 
. Сторона каждого маленького квадрата равна 
, т.е. равна а . Итак,
S=
=
(формула 1)
Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (В частности, число а может быть целым, и тогда n=0). Тогда число m= 
целое. Разобьем данный квадрат со стороной а на m2 равных квадратов так, как показано на рисунке б) (на рисунке m=7)
рис. б)
 |
При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей и, значит, сторона любого маленького квадрата равна
По формуле 1 площадь маленького квадрата равна
. Следовательно, площадь S данного квадрата равна
Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1) – го. Так как число а отличается от а n не более чем на 
, то 
, откуда
Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной 
и площадью квадрата со стороной 
(рисунок в)), т.е. между 
и 
:
(формула 3)
рис. в)
Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 
будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число 
будет сколь угодно мало отличаться от числа 
. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа 
. Следовательно, эти числа равны: 
, что и требовалось доказать.
Площадь прямоугольника
Теорема:
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S(рис. а). Докажем,
что S = ab.
Рис. а)
b
a
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на (рис. б)
По свойству 30 площадь этого квадрата равна 
.
Рис. б)
|