Реферат: Площади в геометрии

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении

площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема

Ели угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство:

Страница 10

Пусть S и – площади треугольников ABC и , у которых (см. рис.) Докажем, что .

Наложим треугольник на треугольник ABC так, чтобы вершина совместилась с вершиной А, а стороны и наложились соответственно на лучи AB и AC. Треугольники ABC и AC имеют общую высоту CH, поэтому . Треугольники ACи A также имеют общую высоту , поэтому . Перемножая полученные равенства, находим:

= или .

Теорема доказана .

С

AB

Площадь трапеции

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция (), – середина стороны – перпендикуляр, опущенный из точки на прямую . (рис. 1)

Рис. 1

Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т.е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.

Замечание . Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:

,

(по построению),

(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому

,

следовательно, .