Реферат: Площади в геометрии

b b

a b

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с

площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S(свойство 1⁰ площадей) и двух квадратов с площадями a² и b² (свойство 3⁰ площадей). По свойству 2⁰ имеем:

, или .

Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма

Основание – одна из сторон параллелограмма

Высота параллелограмма – перпендикуляр, проведенный из любой точки

Противоположной стороны к прямой, содержащей основание.

Теорема

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD

за основание и проведем высоты BH и CK (см. рис.). Докажем, что S = ADBH.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S.

Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника ABH.

Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т.е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S = BCBH, а так как BC = AD, то S = ADBH. Теорема доказана .

BC

AHDK

Площадь треугольника

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство:

Пусть S – площадь треугольника ABC(см. рис.). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что ABCH.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC– их общая сторона, AB = CD и AC = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е. ABCH. Теорема доказана .

CD

AHB