Реферат: Початки комбінаторики

(a+b)(a+b)…(a+b).

Очевидно, що кожний доданок містить n множників – k множників a і n-k множників b, тобто має вигляд a^k b^n-k , де k£n, k³0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка ми брали множники a. Таким чином, доданків a^k b^n-k рівно стільки, скільки таких підмножин, тобто =. Отже,

(a+b)ⁿ =

Коефіцієнти при a^k b^n-k називаються біноміальними , оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)ⁿ .

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

= =..

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

при b=1 маємо (a+1)ⁿ = ,

при a=b=1 маємо (1+1)ⁿ = 2ⁿ = ,

при a= –1, b=1 маємо (–1+1)ⁿ = 0ⁿ = (–1)^k .

За останньою рівністю, зокрема, природно означити 0⁰ як 1, слідуючи за Доналдом Кнутом [****].

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

= +

Ця тотожність називається правилом додавання . Існує багато різних її доведень. Ось "лобове":

Доозначимо біноміальні коефіцієнти при k<0 та k>n як =0. Тоді правило додавання справджується за будь-яких значень k. Скористаємося цим доозначенням також і далі, розглядаючи суми, в яких додавання ведеться за нижнім коефіцієнтом k у виразах вигляду . Це дозволить не записувати межі, у яких змінюється k.

Доведемо ще одну тотожність, яка називається згорткою Вандермонда :

.

Якщо замінити kна k-m, а n – на n-m, то одержимо рівність

.

Вона має назву тотожності Коші . Доведемо спочатку цю рівність. Нехай є r дівчат і s юнаків. Праворуч маємо кількість способів вибрати з них усіх n осіб. Кожний доданок у сумі ліворуч задає кількість способів вибрати n осіб так, щоб серед них було k дівчат з r і n-k юнаків з s. Додавання цих кількостей по всіх можливих значеннях k дає кількість всіх способів вибрати з них усіх n осіб. Отже, вирази ліворуч і праворуч задають одну й ту саму кількість, тобто рівні. Якщо тепер замінити назад kна k+m, а n на n+m, одержимо початкову рівність.

Таблиця біноміальних коефіцієнтів зображається ще у вигляді так званого арифметичного трикутника , або трикутника Паскаля :