Реферат: Подобие фигур

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А₁ , В₁ , С₁ , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В₁ лежит между точками А₁ и С₁ . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Рис. 5

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А₁ В₁ С₁ (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А₂ и С₂ . Треугольники А₂ ВС₂ и А₁ В₁ С₁ равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А₂ ВС₂ и А₁ В₁ С₁ . Значит, углы ABC и А₁ В₁ С₁ равны, что и требовалось доказать.

3. ПОДОБИЕ ФИГУР

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'».

Докажем, что если фигура F₁ подобна фигуре F₂ , а фигура F₂ подобна фигуре F₃ , то фигуры F₁ и F₃ подобны.

Пусть Х₁ и Y₁ — две произвольные точки фигуры F₁ . Преобразование подобия, переводящее фигуру F₁ в F₂ , переводит эти точки в точки Х₂ , Y₂ , для которых X₂ Y₂ = k₁ X₁ Y₁ .

Преобразование подобия, переводящее фигуру F₂ в F₃ , переводит точки Х₂ , Y₂ в точки Х₃ , Y₃ , для которых X₃ Y₃ = - k₂ X₂ Y₂ .

Из равенств

X₂ Y₂₌ kX₁ Y_1, X₃ Y₃ = k₂ X₂ Y₂

следует, что X₃ Y₃ - k₁ k₂ X₁ Y₁ . А это значит, что преобразование фигуры F₁ в F₃ , получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F₁ и F₃ подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA₁ B₁ C₁ — предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А₁ , В - в B₁ и С - в С₁ .

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А₁ В₁ С₁

A=А₁ , В=В₁ , С=С₁

4. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ

Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A₁ B₁ C₁ А=А₁ , B=B₁ . Докажем, что ΔАВС~ΔА₁ В₁ С₁ .

Пусть . Подвергнем треугольник А₁ В₁ С₁ преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 6). При этом получим некоторый треугольник А₂ В₂ С₂ , равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то A₂₌ А₁ , B₂ = B₁ . А значит, у треугольников ABC и А₂ В₂ С₂ A = A₂ , B=B₂ . Далее, A₂ B₂ = kA₁ B₁ =AB. Следовательно, треугольники ABC и А₂ В₂ С₂ равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).

Так как треугольники А₁ В₁ С₁ и А₂ В₂ С₂ гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А₂ В₂ С₂ и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А₁ В₁ С₁ и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 7

Задача. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, пересекает его сторону АС в точке А₁ , а сторону ВС в точке В₁ . Докажите, что Δ ABC ~ ΔА₁ В₁ С.

Решение (рис. 7). У треугольников ABC и А₁ В₁ С угол при вершине С общий, а углы СА₁ В₁ и CAB равны как соответствующие углы параллельных АВ и А₁ В₁ с секущей АС. Следовательно, ΔАВС~ΔА₁ В₁ С по двум углам.

5. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ

Теорема 3.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.