Реферат: Подобие фигур

Подвергнем треугольник A₁ B₁ C₁ преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 8).

При этом получим некоторый треугольник А₂ В₂ С₂ , равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то С₂ = =С₁ . А значит, у треугольников ABC и А₂ В₂ С₂ C=C₂ . Далее, A₂ C₂ = kA₁ C₁ =AC, B₂ C₂ = kB₁ C₁ =BC. Следовательно, треугольники ABC и А₂ В₂ С₂ равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники A₁ B₁ C₁ и А₂ В₂ С₂ гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А₂ В₂ С₂ и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А₁ В₁ С₁ и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 9

Задача . В треугольнике ABC с острым углом С проведены высоты АЕ и BD (рис. 9). Докажите, что ΔABC~ΔEDC.

Решение. У треугольников ABC и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС=AC cos γ, DC = ВС соsγ. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, ΔАВС~ΔEDC по двум сторонам и углу между ними.

6. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ

Теорема 4.Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и А₁ В₁ С₁ AB = kA₁ B₁ , AC = kA₁ C₁ , BC = kB₁ C₁ . Докажем, что ΔАВС~ΔА₁ В₁ С₁ .

Подвергнем треугольник А₁ В₁ С₁ преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 10). При этом получим некоторый треугольник А₂ В₂ С₂ , равный треугольнику ABC. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

A₂ В₂ = kA₁ В₁ = АВ, A₂ C₂ = kA₁ C₁ =AC, B₂ C₂ = kB₁ C₁ =BC.

Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники А₁ В₁ С₁ и А₂ В₂ С₂ гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A₂ В₂ C₂ и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А₁ В₁ С₁ и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 10

Задача. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Решение. Пусть ABC и А₁ В₁ С₁ — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А₁ В₁ С₁ пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е. А₁ В₁ =kAB, B₁ C₁ = kBC, A₁ C₁ =kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:

A₁ B₁ + B₁ C₁ +A₁ C₁ =k(AB+BC+AC).

Отсюда

т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.

7. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 11).

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: ΔABC~ΔCBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: