Реферат: Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел

.

Доказательство. . Умножим обе части равенства справа на , где .

, где .

Доказательство. Выпишем правую часть равна левой части.

, где .

Доказательство. Правая часть равна левой части.

, .

Доказательство. Правая часть левая часть.

, .

Доказательство. Левая часть .

, .

Если , то .

Доказательство. Вычислим произведение то есть обратный элемент к .

, где .

Доказательство. Левая часть равна равна правой части.

- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.

Доказательство. Следует из свойств поля:

1. , так как поле.

2.

3.

4. , так как поле

Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.

п.3. Подполе.

Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от называется собственным полем.

Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.

Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции и подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.

п.4. Поле рациональных чисел.

Алгебраическая система называется системой рациональных чисел, если:

Алгебра - это поле с единицей 1.