Реферат: Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть - кольцо с единицей 1. Элемент
из множества
называется обратным в кольце
, если
.
называется обратным к
.
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2 необратим в этом кольце, так как
, элемент 5 необратим в кольце целых чисел.
- обратимые элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми являются все элементы кроме
.
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо , обратимыми являются все элементы кроме
.
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция
коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица
.
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа - галуафилд.
;
. Определим
операции сложения и умножения:
И
- бинарные операции,
- унарная
Из этой таблицы видно, что операция - коммутативна,
-бинарные операции,
- унарная операция, т.к.
,
.
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле. Обозначение:
.
Если , то
.
Доказательство. Пусть , докажем, что
, то есть
, тогда
противоречие с аксиомой поля
. Если
, то по аксиоме полей
|
,
.
Если ,
.
умножим равенство
справа на
, то есть
.
.
Доказательство. Если , то
, умножая обе части равенства
на
слева,
.
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: ,
, значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--