Реферат: Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
.
Доказательство. . Умножим обе части равенства справа на
, где
.
, где
.
Доказательство. Выпишем правую часть равна левой части.
, где
.
Доказательство. Правая часть равна левой части.
,
.
Доказательство. Правая часть левая часть.
,
.
Доказательство. Левая часть .
,
.
Если , то
.
Доказательство. Вычислим произведение то есть
обратный элемент к
.
, где
.
Доказательство. Левая часть равна равна правой части.
- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля:
1. , так как поле.
2.
3.
4. , так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля
, в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля
, отличное от
называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции
и
подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра - это поле с единицей 1.