Реферат: Пределы
=a/b lima x ® 0 (sin ax)/ax=a/b.
II замечательный предел.
limn ® ¥ (1+1/n)n =?
Бином Ньютона: (a+b)n =an +nan-1 b+(n(n-1)an-2 b2 )/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4 b4 )/4!+...+bn .
(1+1/n)n =1+n1/n+n(n-1)/2!n2 +n(n-1)(n-2)/3!n3 +...+1/nn = =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22 (1-1/n)(1-2/n)+1/23 (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22 +1/23 +...+1/2n =2+0.5(1-1/2n )/(1-0.5)=2+1-1/2n =3-1/2n <3.
2£(1+1/n)n <3 => $ limn ® ¥ (1+1/n)n =e.
Следствия :
1.limx ® + ¥ (1+1/x)x =e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x ³(1/x+1)x ³(1+1/(n+1))x
(1/n+1)n+1 ³(1+1/x)x ³(1+1/(n+1))n limn ® ¥ (1+1/n)n (1+1/n)=e*1=e,· limn ® ¥ (1+1/(n+1))n+1 *1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $limx ® + ¥ (1+1/x)x =e.
Непрерывность.
-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0 , если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0 ).limf(x)=f(x0 )
Условия:
1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx ® x0-0 f(x) $limx ® x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx ® x0- f(x)=limx ® x0+ f(x);
4. limx ® x0 ± f(x)=f(x0 ).
Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва непрерывности в точке:
1.Если фун f1 (x) и f2 (x) непрерывны в точке х0 , то сумма (разность) y(х)=f1 (x)±f2 (x), произведение у(х)=f1 (x)*f2 (x), а также отношение этих фун у(х)=f1 (x)/f2 (x), есть непрерывная фун в точке х0 .
Док-во (суммы): По определению получ limх ® х0 f1 (x)=f1 (x0 ) и limх ® х0 f2 (x)=f2 (x0 ) на основании св-ва1 можем написать: limх ® х0 у(х)=limх ® х0 [f1 (x)+f2 (x) ]=
=limх ® х0 f1 (x)+limх ® х0 f2 (x)=f1 (x0 )+f2 (x0 )=у(х0 ). Итак сумма есть непрерывная фун.·
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0 , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0 =j(х0 ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0 .
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).
Непрерывности на заданном промежутке
Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b) , если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.
Свойства (small) :
1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x0 на [a;b], f(x0 )=0.
Св-ва непрерывности на заданном промежутке (full):
1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1 )³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2 , что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю