Реферат: Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ...

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=2² +1² , 13=2² +3² , 17=1² +4² , а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема : Для того, чтобы нечетное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

Доказательство (Лагранжа)

Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона: если p --- простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x, 2 x 11, найдется такое число y, 2 y 11, что x* y при делении на 13 дае в остатке 1. Действительно,

(13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12,

и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n --- натуральное число, то ((2n)!)² +1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=
=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*...*(p-1)+1=
=(2n)!(-1)²ⁿ (2n)!+pk+1 ((2n)!)² +1(mod p).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N² -1(mod p).

Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0 m [ ], 0 s [], через [] обозначена целая часть числа --- наибольшее целое число, не превосходящее . Число таких пар ([ ]+1)² >p. Значит, по крайней мере для двух различных пар (m₁ ,s₁ ) и (m₂ ,s₂ ) остатки от деления m₁ +Ns₁ и m₂ +Ns₂ на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m₁ -m₂ , b=s₁ -s₂ , будет делиться на p. При этом |a|[], |b| []. Но тогда число a² -N² b² =(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N² -1(mod p), получим, что a² +b² делится на p, т. е. a² +b² =rp, где r --- натуральное число (r0, ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a² +b² 2[]² <2p, т. е. r=1, и значит, a² +b² =p. Теорема доказана.

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.

Единственность представления простого числа в виде суммы двух квадратов По теореме Ферма-Эйлера любое простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы двух квадратов. Осталось доказать, что такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых. Теорема: Никакое простое число не может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами.

Доказательство. Если бы простое число p имело два существенно разных представления, p = a² + b² = c² + d² , то разложения p = (a + bi)(a - bi) = (c + di)(c - di) представляют собой противоречие . Можно обойтись в доказательстве теоремы 9 и без комплексных чисел. Предположим, что простое число p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не только порядком слагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел:

p = a² + b² = c² + d² .

Тогда и Следовательно, a² c² = (-b² )(-d² )(mod p), т. е. число a² c² - b² d² кратно p. (Если рассуждения со сравнениями по модулю p непривычны и потому подозрительны, можно получить то же самое, рассматривая тождество a² c² - b² d² = a² (c² + d² ) - (a² + b² )d² ).)

Поскольку число p простое, из делимости произведения (ac + bd)(ac - bd) на p следует, что один из множителей кратен p. Если число ac + bd кратно p, то воспользуемся формулой (1):

p² = (ac + bd)² + (ad - bc)² .

Если то противоречие очевидно, ибо первое слагаемое (ac + bd)² кратно p² и потому не меньше p² . Если же ad - bc = 0, то ad = bc. Поскольку как числа a и b, так и числа c и d взаимно просты, имеем a = c и d = b.

Случай, когда ac - bd кратно p, можно рассмотреть аналогично, воспользовавшись формулой p² = (ac - bd)² + (ad + bc)² .

Итак, простое число нельзя двумя существенно разными способами представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Число, единственным образом представимое в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, не всегда является простым: 10 = 1² + 3² , 25 = 3² + 4² . Легко сформулировать условия, при которых число имеет единственное представление в виде суммы двух квадратов. Однако боле целесообразной представляется следующая задача, описанная далее.

КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух квадратов

В III веке нашей эры греческий математик Диофант не только знал, что число 65 представимо двумя способами, но и объяснял это тем, что 65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов. Комплексных чисел Диофант не знал, иначе он непременно выписал бы разложения 5 = (2 + i)(2 - i), 13 = (3 + 2i)(3 - 2i и продолжил бы свои объяснения следующим образом:

65 = (2 + i)(3 + 2i) ^. (2 - i)(3 - 2i) = (4 + 7i) ^. (4 - 7i) =
= 4² + 7² = (2 + i)(3 - 2i) ^. (2 - i)(3 + 2i)=
= (8 - i) ^. (8 + i) = 8² + 1² .

По-разному группируя множители, получаем два разных разложения!

Следующий пример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, по- разному группируя множители:

25 = (2 + i)^{2 .} (2 - i)² = (3 + 4i) ^. (3 - 4i) =
= 3² + 4² = (2 + i)(2 - i) ^. (2 + i)(2 - i) =
= 5 ^. 5 = 5² + 0² .

Последнийпример — число 5746. Как мы хорошо знаем, всякому представлению 5746 = a² + b² соответствует разложение 5746 = (a + bi)(a - bi) на сопряженные множители. Поэтому разложим рассматриваемое число сначала на простые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители:

5746 = 2 ^. 13^{2 .} 17 = (1 + i)(1 - i)(3 + 2i)² (3 - 2i)² (4 + i)(4 - i).

Теперь мы должны из нескольких этих множителей составить a + bi, да так, чтобы произведение остальных множителей равнялось a - bi. Этонетрудносделать:

a + bi = (1 + i)(3 + 2i)² (4 + i) = -45 + 61i,