Реферат: Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ...

При этом, разумеется, 45² + 61² = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти и еще два варианта:

a + bi = (1 + i)(3 + 2i)(3 - 2i)(4 + i) = 39 + 65i

или

a + bi = (1 + i)(3 - 2i)² (4 + i) = 75 - 11i.

Они приводят к представлениям 39² + 65² = 1521 + 4225 = 5746 и 75² + 11² = 5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет

Аналогично можно найти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натурального числа где p₁ , ..., p_r — попарно различные простые числа, каждое из которых дает остаток 1 при делении на 4, Q — число, не имеющее простых делителей кроме тех, которые дают остаток 3 при делении на 4. А именно, если Q не является точным квадратом, то n не представимо в виде суммы двух квадратов; если же Q — точный квадрат, то, применив необходимое число раз теорему 2, получаем: количество представлений числа n в виде суммы двух квадратов равно количеству представлений числа в виде суммы двух квадратов. Формулу для этого количества нашел немец Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859).

Итак, количество представлений числа m в виде суммы квадратов двух целых чисел равно [((a₁ + 1)^. ... ^. (a_r + 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей равно О, то произведение считается равным 1. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, не различаются.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ

Теорема : положительное нечетное число представимо в виде тогда и только тогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит простых чисел р вида 8n+5 и 8n+7. Данная теорема представима в виде уравнения: = N, где N-положит. нечетное число. (1)

Число таких представлений равно 2v, где v-число решений сравнения

(2)

Доказательство . Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n+5 и 8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v<>0 (не равно нулю). Тогда получаем, что число форм {N, B, C} с дискриминантом D=-8, таких, что 0B<2N, равно v.

Далее докажем, что все формы с дискриминантом D=-8 эквивалентны форме {0, 1, 2}.

Действительно если у приведенной положительно определенной формы {a,b,c} дискриминант D==-8, то, поскольку , имеем , т.е. ac=2, a=1, c=2, b=0.

Таким образом, при D=-8, так же как при D=-4 и при D=-3 имеется один класс положительно определенных форм. Для каждой из v форм вида {a,b,c} существуют два унимодулярных линейных преобразования, переводящих {a,b,c} в {N, B, C}, и тогда получаем, что уравнение (1) имеет 2v решений с взаимно простыми значениями x, y. Число решений сравнения (2) определяется теоремой. Согласно этой теореме, если N= где все —про­стые числа вида 8+1 и 8n+3, то v= и число представ­лений N в виде (1) равно . В частности, отсюда вытекает, что любое простое число р вида 8n+1 или 8n+3 единствен­ным образом может быть представлено в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата натуральных чисел.

Примечание. При четном N=2 могут быть два случая:

1) Если нечетное, то, заменяя в уравнении (1) x через 2 и сокращая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в вышеуказанной теореме.

2) Если четно, т. е. 4,то из равенства (1) следует 2\х, 2\у, т. е. не существует решений уравнения (1) с взаимно простыми x и y.

Число решений уравнений (1) и , рассмотренного в первой части реферата, было легко определить благодаря тому, что для дискриминантов D=-4 и D=-8 существует всего только по одному классу квадратичных форм. Легко видеть, что если {a,b,c} —положительно определенная форма с взаимно простыми a,b,c и если существует только один класс примитивных форм с дискриминантом D=, то можно опре­делить число собственных решений уравнения:

=N. Известно, что для следующих значений -D100:

-D=3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67

существует только по одному классу таких квадратичных форм.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке ученых того времени, о том, что "всякое простое число, которое при делении на четыре дает единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов".

В ту пору математических журналов еще не существовало, информацией обменивались в письмах, и как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами.

Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства описанной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска , позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же и т. д., пока мы не доберемся до числа 5, когда окончательно придем к противоречию.

Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причем, желая утвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующее описанному выше замыслу Ферма.

Воздавая должное обоим великим ученым, мы называем эту теорему теоремой Ферма-Эйлера .

ЛИТЕРАТУРА: