Реферат: Преобразования плоскости, движение
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ
Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå.
Ïîäðîáíåå: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïðîèçâîëüíûì òî÷êàì ïëîñêîñòè X è Y ñòàâèò â ñîîòâåòñâèå òàêèå òî÷êè X' è Y', ÷òî XX'=YY' èëè åùå ìîæíî ñêàçàòü òàê: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ýòî îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ íà îäèí è òîò æå âåêòîð - âåêòîð ïåðåíîñà . Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ çàäàåòñÿ âåêòîðîì ïåðåíîñà: çíàÿ ýòîò âåêòîð âñåãäà ìîæíî ñêàçàòü, â êàêóþ òî÷êó ïåðåéäåò ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè.
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, ñîõðàíÿþùèì íàïðàâëåíèÿ. Äåéñâòèòåëüíî, ïóñòü ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå òî÷êè X è Y ïåðåøëè â òî÷êè X' è Y' ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî XX'=YY'. Íî èç ýòîãî ðàâåíñòâà ïî ïðèçíàêó ðàâíûõ âåêòîðîâ ñëåäóò, ÷òî XY=X'Y', îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî âî-ïåðâûõ XY=X'Y', òî åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, è âî âòîðûõ, ÷òî XY X'Y', òî åñòü ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ñîõðàíÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿ.
Ýòî ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà - åãî õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî, òî åñòü ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.
Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ
Òî÷êè X è X' íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a, è êàæäàÿ èç íèõ ñèììåòðè÷íîé äðóãîé, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì îòðåçêà XX'. Êàæäàÿ òî÷êà ïðÿìîé a ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íà ñàìîé ñåáå (îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a). Åñëè äàíà ïðÿìàÿ a, òî êàæäîé òî÷êå X ñîîòâåòñâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà X', ñèììåòðè÷íàÿ X îòíîñèòåëüíî a.
Ñèììåòðèåé ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå ýòîé ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òî÷êà, ñèììåòðè÷åíàÿ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a.
Äîêàæåì, ÷òî îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì óñïóëüçóÿ ìåòîä êîîðäèíàò: ïðèìåì ïðÿìóþ a çà îñü x äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò. Òîãäà ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî íåå òî÷êà, èìåþùàÿ êîîðäèíàòû (x;y) áóäåò ïðåîáðàçîâàíà â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (x, -y).
Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè A(x1 , y1 ) è B(x2 , y2 ) è ðàññìîòðèì ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî îñè x òî÷êè A'(x1 ,- y1 ) è B'(x2 , -y2 ). Âû÷èñëÿÿ ðàñòîÿíèÿ A'B' è AB, ïîëó÷èì
Òàêèì îáðàçîì îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå, ñëåäîâòåëüíî îíà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Ïîâîðîò
Ïîâîðîò ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî öåòðà O íà äàííûé óãîë () â äàííîì íàïðàâëåíèè îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êàæäîé òî÷êå X ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñâèå òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî, âî-ïåðâûõ, OX'=OX, âî-âòîðûõ è, â-òðåòèõ, ëó÷ OX' îòêëàäûâàåòñÿ îò ëó÷à OX â çàäàííîì íàïðàâëåíèè. Òî÷êà O íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ïîâîðîòà , à óãîë -óãëîì ïîâîðîòà .
Äîêàæåì, ÷òî ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì:
Ïóñòü ïðè ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè O òî÷êàì X è Y ñîïîñòîâëÿþòñÿ òî÷êè X' è Y'. Ïîêàæåì, ÷òî X'Y'=XY.
Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè O, X, Y íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà óãîë X'OY' ðàâåí óãëó XOY. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü óãîë XOY îò OX ê OY îòñ÷èòûâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîâîðîòà. (Åñëè ýòî íå òàê, òî ðàññìàòðèâàåì óãîë YOX). Òîãäà óãîë ìåæäó OX è OY' ðàâåí ñóììå óãëà XOY è óãëà ïîâîðîòà (îò OY ê OY'):
ñ äðóãîé ñòîðîíû,
Òàê êàê (êàê óãëû ïîâîðîòà), ñëåäîâòåëüíî . Êðîìå òîãî, OX'=OX, è OY'=OY. Ïîýòîìó - ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Ñëåäîâòåëüíî X'Y'=XY.
Åñëè æå òî÷êè O, X, Y ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî îòðåçêè XY è X'Y' áóäóò ëèáî ñóììîé, ëþáî ðàçíîñòüþ ðàâíûõ îòðåçêîâ OX, OY è OX', OY'. Ïîýòîìó è â ýòîì ñëó÷àå X'Y'=XY. Èòàê, ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ
Ìîæíî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå:
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ öåòðîì â òî÷êå O ýòî òàêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì ëþáîé òî÷êå X ñîïîñòàâëÿåòñÿ òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî òî÷êà O ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèíîé îòðåçêà XX'.
Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîâîðîòà, à èìåííî, ïîâîðîòà íà 180 ãðàäóñîâ. Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êà X ïåðåøëà â X'. Òîãäà óãîë XOX'=180 ãðàäóñîâ, êàê ðàçâåðíóòûé, è XO=OX', ñëåäîâòåëüíî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà 180 ãðàäóñîâ. Îòñþäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, èçìåíÿþùèì íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå .Òî åñòü åñëè ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êàì X è Y ñîîòâåòñâóþò òî÷êè X' è Y', òî
XY= - X'Y'
Äîêàçàòåëüñòâî: Ïîñêîëüêó òî÷êà O - ñåðåäèíà îòðåçêà XX', òî, î÷åâèäíî,
OX'= - OX
Àíàëîãè÷íî
OY'= - OY
Ó÷èòûâàÿ ýòî íàõîäèì âåêòîð X'Y':
 | | | | | | | |
X'Y'=OY'-OX'=-OY+OX=-(OY-OX)= -XY
Òàêèì îáðàçîì X'Y'=-XY.