Реферат: Преобразования плоскости, движение
Î ñèììåòðèè ôèãóð
Ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà îáëàäàåò ñèììåòðèåé (ñèììåòðè÷íà) , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå äâèæåíèå (íå òîæäåñòâåííîå), ïåðåâîäÿùåå ýòó ôèãóðó â ñåáÿ.
Íàïðèìåð, ôèãóðà îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé , åñëè îíà ïåðåõîäèò â ñåáÿ íåêîòîðûì ïîâîðîòîì.
Ðàññìîòðèì ñèììåòðèþ íåêîòîðûõ ôèãóð:
Îòðåçîê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè (ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð è ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ ýòîò îòðåçîê) è öåíòð ñèììåòðèè (ñåðåäèíà).
Òðåóãîëüíèê îáùåãî âèäà íå èìååò îñåé èëè öåíòðîâ ñèììåòðèè, îí íåñèììåòðè÷åí. Ðàâíîáåäðåííûé (íî íå ðàâíîñòîðîííèé) òðåóãîëüíèê èìååò îäíóîñü ñèììåòðèè: ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îñíîâàíèþ.
Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê èìååò òðè îñè ñèììåòðèè (ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì) è ïîâîðîòíóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñ óãëîì ïîâîðîòà 120°.
Ó ëþáîãî ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà åñòü n îñåé ñèììåòðèè, âñå îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç åãî öåíòð. Îí òàêæå èìååò ïîâîðîòíóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñ óãëîì ïîâîðîòà .
Ïðè ÷åòíîì n îäíè îñè ñèììåòðèè ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû, äðóãèå - ÷åðåç ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí.
Ïðè íå÷åòíîì n êàæäàÿ îñü ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó è ñåðåäèíó ïðîòèâîïîëæíîé ñòîðîíû.
Öåíòð ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ ÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí ÿâëÿåòñÿ åãî öåíòðîì ñèììåòðèè. Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí öåíòðà ñèììåòðèè íåò.
Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ åå îñüþ ñèììåòðèè, îêðóæíîñòü òàêæå îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé, ïðè÷åì óãîë ïîâîðîòà ìîæåò áûòü ëþáûì.
Ïîäîáèå
Ïîäîáèåì ñ êîýôôèöèåíòîì k>0 íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì ëþáûì äâóìÿ òî÷êàì X è Y ñîîòâåòñâóþò òàêèå òî÷êè X' è Y', ÷òî X'Y'=kXY.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè k=1 ïîäîáèå ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, òî åñòü äâèæåíèå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîäîáèÿ.
Ôèãóðà F íàçûâàåòñÿ ïîäîáíîé ôèãóðå F' ñ êîýôôèöèåíòîì k , åñëè ñóùåñòâóåò ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì k, ïåðåâîäÿùåå F â F'.
Ïðîñòåéøèì, íî âàæíûì ïðèìåðîì ïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ãîìîòåòèÿ
Ãîìîòåòèÿ
Ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì â òî÷êå O è êîýôôèöèåíòîì k íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå X ñîïîñòàâëÿåòñÿ òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî OX' = kOX, ïðè÷åì íå èñëþ÷àåòñÿ è âîçìîæíîñòü k<0.
Ïðè k =-1 ïîëó÷àåòñÿ öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ öåíòðîì â òî÷êå O, ïðè k =1 ïîëó÷àåòñÿ òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå.
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ãîìîòåòèè
Ïðè ãîìîòåòèè ñ êîýôôôèöèåíòîì k êàæäûé âåêòîð óìíîæàåòñÿ íà k. Ïîäðîáíåå: åñëè òî÷êè A è B ïðè ãîìîòåòèè ñ êîýôôôôèöèåíòîì k ïåðåøëè â òî÷êè A' è B', òî
A'B' = kAB
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü òî÷êà O - öåíòð ãîìîòåòèè. Òîãäà OA' = kOA, OB' = kOB. Ïîýòîìó A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB.
