Реферат: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек
xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)
xo= a; xn= b;
h= (b-a)/n ;
и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах
yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n)
1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа
Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти
По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда
где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:
Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:
1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);
2.для полинома степени n последняя формула точная.
Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:
где
(k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.
Определитель системы есть определитель Вандермонда
Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.
Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :
1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.
Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла
|