Реферат: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

0 a b x

рис 1.3.1 Криволинейная трапеция

Рис. 1.3.2. Метод трапеций.

Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.

По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

,

для метода средних прямоугольников:

.

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом

Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения

s1=y1+y2+ ... +y2m-1

s2=y2+y4+ ... +y2m

получим обобщенную формулу Симпсона:

Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:

где xk I (x2к-2,x2к)

1.5. Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу вида:

функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах

f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n

f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n