Первая строка системы в случае несовместности E и F, вторая - иначе.

Вероятность того, что события E и F произойдут одновременно, обозначается как P{EF}. Если эти события независимы, тогда

Условные вероятности.

Для двух события E и F условная вероятность события E при условии, что наступило событие F, обозначается как P{E|F} и определяется по формуле

Если событие E содержится в событии F (т.е. множество исходов E является подмножеством исходов F), тогда

Два события E и F являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство P{E|F}=P{E}. В этом случае формула условной вероятности сводится к следующему

Теорема умножения, если соответствующие условные вероятности определены

Теорема умножения для большого числа событий, если соответствующие условные вероятности определены

Формула полной вероятности для группы несовместных событий Bi

Формула Байеса.

Пусть A_i – полная группа несовместных событий, тогда формула Байеса (формула перерасчета гипотез) и B некоторое событие положительной вероятности

Доказательство следует из теоремы умножения и формулы полной вероятности.

Введение в байесовские сети доверия.

Байесовские сети доверия – Bayesian Belief Network – используются в тех областях, которые характеризуются наследованной неопределённостью. Эта неопределённость может возникать вследствие:

1. неполного понимания предметной области;
2. неполных знаний;
3. когда задача характеризуется случайностью.

Таким образом, байесовские сети доверия (БСД) применяют для моделирования ситуаций, содержащих неопределённость в некотором смысле. Для байесовских сетей доверия иногда используется ещё одно название причинно-следственная сеть, в которых случайные события соединены причинно-следственными связями.

Соединения методом причин и следствий позволяют более просто оценивать вероятности событий. В реальном мире оценивание наиболее часто делается в направлении от “наблюдателя” к “наблюдению”, или от “эффекта” к “следствию”, которое в общем случае более сложно оценить, чем направление “следствие –> эффект”, то есть в направлении от следствии.

Рис.1. Пример простейшей байесовской сети доверия.

Рассмотрим пример сети (рис.1), в которой вероятность пребывания вершины «e» в различных состояниях (ek) зависит от состояний (ci , dj) вершин «c» и «d» и определяется выражением:

где p(ek|ci, dj) – вероятность пребывания в состоянии ek в зависимости от состояний ci, dj. Так как события, представленные вершинами «c» и «d» независимы, то

p(ek |ci , dj) = p(ci) *p(dj).

Рис.2. Двухуровневая БСД.

Рассмотрим пример более сложной сети (рис.2). Данный рисунок иллюстрирует условную независимость событий. Для оценки вершин «c » и «d » используются те же выражения, что и для вычисления p( e_k ) , тогда:

,

.

Из этих выражений видно, что вершина «e» условно не зависит от вершин A1, A2, B1, B2, так как нет стрелок непосредственно соединяющих эти вершины.

Рассмотрев эти примеры попробуем теперь более точно определить основные понятия, используемые в БСД. Байесовские сети доверия — это направленный ациклический граф, обладающий следующими свойствами:

1. каждая вершина представляет собой событие, описываемое случайной величиной, которая может иметь несколько состояний;
2. все вершины, связанные с “родительскими” определяются таблицей условных вероятностей (ТУВ) или функцией условных вероятностей (ФУВ);
3. для вершин без “родителей” вероятности её состояний являются безусловными ( маргинальными).

Другими словами, в байесовских сетях доверия вершины представляют собой случайные переменные, а дуги – вероятностные зависимости, которые определяются через таблицы условных вероятностей. Таблица условных вероятностей каждой вершины содержит вероятности состояний этой вершины при условии состояний её “родителей”.

Моделирование в условиях неопределенности

Экспертные системы и формальная логика

Попробуем проследить за способом работы эксперта в некоторой опре­деленной области. Примерами экспертов являются врач, проводящий об­следование, финансист, изучающий условия предоставления ссуды, либо пилот, управляющий самолетом.

Действия эксперта могут условно быть представлены в виде повторя­ющейся последовательности из трех этапов:

1. получение информации о состоянии окружающего мира;

2. принятие решения относительно выбора некоторых действий, по по­воду которых у эксперта имеются определенные ожидания послед­ствий;

3. приобретение опыта путем сопоставления результатов действий и ожиданий и возврат к первому этапу.

Приобретенный новый опыт и информация о мире позволяют эксперту сообразно действовать в будущем. Попытки компьютерного моделирования действий эксперта привели в конце 60-х годов к появлению экспертных систем (ЭС) , которые ча­ще всего основывались на продукционных правилах типа «ЕСЛИ условие, ТО факт или действие». Будущее подобных систем связывалось при этом с заменой экспертов их моделями. Однако после первых успехов обнажи­лись проблемы, и первой среди них — серьезные затруднения при попытках работы с нечеткой, недоопределенной информацией.

Следующие поколения ЭС претерпели кардинальные изменения: