Реферат: Применение информатики, математических моделей и методов в управлении

Таким образом, исследование операций представля­ет собой научное направление, целью которого являют­ся разработка методов анализа целенаправленных дей­ствий (операций) и объективная сравнительная оценка возможных решений. Хотя исследование операций пред­ставляет собой самостоятельное научное направление, воз­никшее в годы второй мировой войны при решении за­дач ПВО в Англии (т. е. исторически раньше появления кибернетики) однако при решении отдельных задач оно широко применяет методы кибернетики.

2. Оптимизация процесса управления.

а) Критерий качества управления

Задачу управления мы будем в дальнейшем рас­сматривать как математическую задачу. Однако в отли­чие от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допускает не одно решение, а мно­жество различных решений [Л. 42]. Это связано с тем, что в задачах управления имеется, как правило, много способов организации какого-либо процесса, которые приводят к достижению поставленной цели. Так, в про­цессе погони за зайцем собака может по-разному орга­низовать характер своего движения, при запуске раке­ты на Луну можно выбирать различные траектории для полета ракеты и т. п. Поэтому задачу управления мож­но было бы ставить как задачу нахождения хотя бы одного из возможных способов достижения поставлен­ной цели. Однако такая постановка вопроса обычно бы­вает недостаточна.

Если имеется множество решений какой-либо зада­чи, то возникает добавочная задача — выбрать из это­го множества решений такое, которое с какой-либо точ­ки зрения является наилучшим. Можно привести много примеров таких задач. Так, имеется много способов для склеивания коробки из листа картона заданных разме­ров. Добавочной задачей можно считать задачу получения коробки максимальной вместимости. Из одного города в другой можно проехать, пользуясь различными видами транспорта: железнодорожным, воздушным, вод­ным, автобусным, автомобильным. Добавочной зада­чей можно считать выбор, наиболее выгодного вида транспорта с точки зрения времени проезда, стоимости, удобства, привычек и т. п. Аналогичное положение имеет место я в задачах управления.

В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута несколькими различными способами, па спо­соб управления можно наложить добавочные требова­ния, степень выполнения которых может служить осно­ванием для предпочтения одного способа управления всем другим.

Во многих случаях реализация процесса управле­ния требует затраты каких-либо ресурсов: затрат вре­мени, расхода материалов, топлива, электроэнергии. Следовательно, при выборе способа управления следует говорить не только о том, достигается ли поставленная цель, но и о том, какие ресурсы придется затратить для достижения этой цели. В этом случае задача управле­ния состоит в том, чтобы из множества решений, обес­печивающих достижение цели, выбрать одно решение, которое требует наименьшей затраты ресурсов.

В других случаях основанием для предпочтения одного способа управления другому могут служить иные требования, накладываемые на систему управления: стои­мость обслуживания, надежность, степень близости полу­чаемого состояния системы к требуемому, степень досто­верности знаний о состоянии природы и т. п.

Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ управления требований, называется критерием качества управления. Наиболее предпочтительным или оптималь­ным способом управления будет такой, при котором критерий качества управления достигает минимального (иногда максимального) значения.

При выборе, напри­мер, режима полета за критерий качества управления можно принять или выражение для количества топлива, расходуемого на единицу пути, или путь, проходимый за счет единицы топлива. Наиболее экономичному, т. е. оптимальному, режиму будет соответствовать или мини­мальное (в первом случае), или максимальное (во вто­ром случае) значение критерия качества управления.

Приведенное определение оптимального управления будем рассматривать как предварительное. Более стро­гое определение будет дано после рассмотрения ограни­чений, налагаемых на процесс управления.

б) Ограничения, накладываемые на процесс управления

Задачу нахождения оптимального управления или управления вообще следует считать не существую­щей, т. е. не вызывающей никаких проблем, если на ха­рактер движения системы не наложено никаких огра­ничений. Так, проблемы погони за зайцем вообще не существовало бы, если бы собака могла мгновенно прео­долеть расстояние, отделяющее ее от зайца. Следова­тельно, при решении задачи управления нельзя не счи­таться с тем обстоятельством, что движение любой си­стемы всегда подвержено различного рода ограниче­ниям.

Для более ясного представления о встречающихся ограничениях рассмотрим конкретный пример управле­ния автомобилем. Осуществляя процесс управления, во­дитель должен считаться с тем, что автомобиль имеет ограниченную мощность двигателя, а значит, может вести лишь ограниченный груз с ограниченной предель­ной скоростью. Благодаря инерционности скорость авто­мобиля и направление движения могут изменяться лишь с ограниченным по величине ускорением. Это означает невозможность мгновенной остановки или мгновенного изменения направления движения в случае возникнове­ния непредвиденной опасной ситуации и в свою очередь ограничивает скорость движения. При выборе маршрута водитель вынужден считаться с ограниченным запасом горючего в баке и необходимостью пополнения этого за­паса в пути и т.п.

В общем случае имеется два вида ограничений на выбор способа управления. Ограничениями пер­вого вида являются сами законы природы, в соответст­вии с - которыми происходит движение управляемой си­стемы. При математической формулировке задачи управления эти ограничения представляются обычно алгебраическими, дифференциальными или разностны­ми уравнениями объекта управления и их часто назы­вают уравнениями связи. Второй вид ограничений вызван ограниченностью ресурсов, используемых при управлении, или иных величин, которые в силу физиче­ских особенностей той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов. Матема­тически ограничения этого вида выражаются обычно в виде систем алгебраических уравнений или неравенств, связывающих переменные, описывающие состояние си­стемы.

в) Постановка задачи оптимального управления

Задачу управления можно считать сформулиро­ванной математически, если:

• сформулирована цель управления, выраженная через критерий качества управления;

• определены ограничения первого вида, представляю­щие собой систему дифференциальных или разностных уравнений, ограничивающих возможные способы движе­ния системы;

• определены ограничения второго вида, представляю­щие собой систему алгебраических уравнений или нера­венств, выражающих ограниченность ресурсов или иных величин, используемых при управлении.

Способ управления, который удовлетворяет всем по­ставленным ограничениям и обращает в минимум (мак­симум) критерий качества управления, называется опти­мальным управлением.

3. Математическое описание объекта управления.

а) Структура объекта управления

Ту физическую систему, процессами в которой мы управляем, будем называть объектом управления. Объекты управления могут быть весьма разнообразны и иметь самую различную физическую природу. Это могут быть:

• технические устройства: автомобиль, самолет, раке­та, токарный станок, технологический процесс и т. п.;

• производственные предприятия: отдел, цех, завод, от­расль промышленности;

• экономические системы: экономика предприятия, эко­номика отрасли промышленности, экономика государ­ства;

• биологические системы; социальные системы и т. д.

То обстоятельство, что закономерности, которым подчиняются процессы управления, являются общими для объектов управления любой физической природы, позволяет рассмотреть общую структуру и дать общее математическое описание процесса управления.

Обозначим через переменную, определяющую со­стояние объекта управления. Иногда она является одно­мерной или скалярной величиной. Это могут быть угол поворота вала двигателя, скорость самолета или раке­ты, давление пара в котле паровой машины, количество предметов на складе, количество самолетов, базирую­щееся на аэродроме, и т. п.

Однако в большинстве случаев для описания объекта управления требуется не одна, а несколько переменных . При описании механических систем величины представляют собой координаты или скорости дви­жущихся частей. Например, в электрических системах величины будут токами или напряжениями; в экономике это могут быть производственные мощ­ности или ресурсы отдельных отраслей промышлен­ности;

Во всех рассмотренных случаях состояние объекта управления будет описываться многомерной, т. е. век­торной переменной, компонентами которой будут ве­личины

Переменную будем далее называть переменной или вектором состояния объекта управления.

Величины могут изменяться непрерывно в некото­ром диапазоне значений или принимать конечное мно­жество значений. В последнем случае величина будет также принимать конечное множество значений и ее -е значение будем обозначать через .

Тогда множество будет представлять собой пространство возможных со­стояний объекта управления. Иногда пространство будем называть пространством решений, подчеркивая тем самым, что выбор некоторого представляет со­бой возможное решение задачи управления.