Реферат: Применение математики в статистике

Здесь `y_x – предсказанное значение Y

( `y_{x =} = b ₀ + b ₁ y _i );

S_yx – стандартная ошибка оценки;

п – объем выборки;

х _i – заданное значение X.

Легко видеть, что длина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. Для заданного уровня значимости a увеличение вариации вокруг линии регрессии, измеряемой стандартной ошибкой оценки, увеличивает длину интервала. Увеличение объема выборки уменьшит длину интервала. Более того, ширина интервала также варьирует с различными значениями X. Когда оценивается `y<sub>x</sub> по значениям X , близким к `x, то интервал тем уже, чем меньше абсолютное отклонение х _i от `x (рис. 9.5).

Когда оценка осуществляется по значениям X, удаленным от среднего `x , то длина интервала возрастает.

Рассчитаем 95%-й доверительный интервал для среднего значения выручки во всех магазинах с числом посетителей, равным 600. По данным нашего примера уравнение регрессии имеет вид

`y_x = 2,423 + 0,00873x :

и для `x <sub>i</sub> = 600 получим `y_i ; =7,661, а также

По таблице Стьюдента t ₁₈ = 2,10.

Отсюда, используя формулы (9.31) и (9.32), рассчитаем границы искомого доверительного интервала для m_yx

Итак, 7,369 £ m_yx £7,953.

Следовательно, наша оценка состоит в том, что средняя дневная выручка находится между 7,369 и 7,953 у.е. для всех магазинов с 600 посетителями.

Для построения доверительного интервала для индивидуальных значений Y_x , лежащих на линии регрессии, используется доверительный интервал регрессии вида

где h _i ,`y_{i ,} S_yx , п и х _i – определяются, как и в формулах (9.31) и (9.32).

Определим 95% – и доверительный интервал для оценки дневных продаж отдельного магазина с 600посетителями

В результате вычислений получим

Итак, 6,577 £ `y_i £ 8,745.

Следовательно, с 95%-й уверенностью можно утверждать, что ежедневная выручка отдельного магазина, который посетили 600 покупателей, находится в пределах от 6,577 до 8,745 у. е. Длина этого интервала больше чем длина интервала, полученного ранее для оценки среднего значения Y .

Доверительные интервалы для оценки истинных значений неизвестного параметра уравнения регрессии b₁ и коэффициента регрессии р в генеральной совокупности .

Построим доверительный интервал для истинного значения генерального параметра b₁ . Для этого проверим гипотезу о равенстве нулю b₁ . Если гипотеза будет отклонена, то подтверждается существование линейной зависимости Y от X . Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:

Н ₀ : b₁ = 0 (линейной зависимости нет);