Реферат: Принцип Максимума Понтрягина

Эта задача называется краевой задачей принципа максимума.

Задав произвольные начальные условияи решив каким-либо численным методом задачу Коши для системы (2.8), можно найти х(Т), (Т). При этом на каждом шаге численного интегрирования значение находится из решения вспомогательной оптимизационной задачи (2.7) (считаем, что параметр задан и равен либо 0, либо -1).

Значения х (Г), являются очевидно, некоторыми функциями от а и Ь:

). Решение краевой задачи принципа максимума сводится, таким образом, к решению полученной из (2.9), (2.5), (2.6) системы уравнений

Эта система содержит 2п+т неизвестных а, Ь, и состоит из 2п+т уравнений. Ее решение можно находить известными численными методами, например методом Ньютона.

Отметим, что вычисление значений весьма трудоемко, так как требует при каждом (а, b) решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (2.8). Именно в таких случаях особое значение приобретает изучение вопросов эффективности численных методов и построения оптимальных методов .

При реализации на ЭВМ методов решения задач оптимального управления, основанных на необходимых условиях экстремума, могут встретиться также значительные трудности, вызванные некорректностью постановки исходной и вспомогательных задач и некоторыми особенностями краевой задачи принципа максимума. Это приводит к необходимости применения методов регуляризации, учета специфики конкретной решаемой задачи, ее физического смысла и т. п.

Другие численные методы, не связанные непосредственно с принципом максимума, основаны на редукции исходной задачи к некоторой конечномерной задаче математического программирования. Их называют иногда прямыми методами (впрочем, разделение вычислительных методов на прямые и непрямые довольно условно). Конечномерные аналоги задач оптимального управления имеют особенности, позволяющие эффективно применять некоторые методы нелинейного, динамического программирования и т. д]. Продемонстрируем пример такого подхода.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления

где моменты времени, Т фиксированы. Это задача более общего вида, чем (2.1), ибо в (2.10) U зависит от времени и имеются фазовые ограничения произвольного вида, которые, в частности, могут содержать ограничения на концах траектории вида (2.2).

Зафиксируем моменты времени и заменим задачу (2.10) ее конечноразностным аналогом

Положив задачу можно переписать в виде (2.11)

Мы получили задачу математического программирования с переменными

Задав начальное состояние х⁰ и управление (u⁰ , u¹ , ..., u^N-1 ), по формулам легко вычислить траекторию ( х^{1, ...,} х^N) . Тем самым (2.12) сводится к задаче с переменными х^{0, u0 , u1, ..., uN-1} , и ее размерность, таким образом, оказывается равной n+Nr.

Для решения задачи (2.11) часто применяют метод динамического программирования. В данном случае этот метод выглядит следующим образом. Ввелем функцию где минимум берется по таким что(будем предполагать, что все фигурирующие здесь и ниже минимумы достигаются). Если множество таких наборов (u^к , ..., u^N-1 ) пусто, то значение ) не определено. Нетрудно видеть, что (2.12)

где минимум берется по таким , что значение определено.

Положив и проводя вычисления по формулам (2.12) при k=N-1,N-2,...,0 можно найти решение задачи (2.11).

Действительно, пусть - значение управления, реализующее минимум в (2.12). Ясно, что значение задачи (2.11) , т.е. минимальное значение минимизирующей функции, равно , где минимум берется по таким , что значение определено. Оптимальное управление и оптимальная траектория находятся, очевидно, по формулам

(2.13)

При численной реализации данного метода задаются сеточные аппроксимации множеств т.е. некоторые конечные множества Затем строятся множества , которые служат сеточными аппроксимациями интересующих нас подмножеств

Далее по формулам (2.12) вычисляются значения для и т.д., причем при каждом k минимум в (2.12) берется по После того как приближенно найдена точка , минимизирующая решение задачи определяется формулами (2.13).

Заключение: