Реферат: Проблемы гуманитаризации математического образования

Выпускник педагогического университета, в отличие от выпускника МГУ, должен быть широко образован в области элементарной и научно-популярной математики, знать имеющуюся литературу по элементарной математике, книги и статьи в научно-популярных журналах, которые можно было бы использовать при работе в школе в качестве дополнительного учебного материала.

В этом истинный смысл гуманитаризации курса элементарной математики.

В качестве примера из элементарной математики приведем теорему о сумме углов многоугольника.

Подавляющее большинство студентов математического факультета МПГУ знает, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 1800(n-2); умеют доказывать эту формулу, разбивая многоугольник на треугольники проведением диагоналей из одной вершины.

Меньшее число студентов знают, что эта формула суммы углов справедлива и для невыпуклых многоугольников. Ее доказательство для этого случая знают буквально единицы.

Многие студенты затруднялись ответить на вопросы о сумме углов звездчатого пятиугольника произвольной формы (необязательно правильного), о сумме углов звездчатых семиугольников и т.д.

Никто из опрошенных нами студентов не знал общую формулу суммы углов для звездчатого n-угольника

 = 1800(n-2m),

где m - степень многоугольника, т.е. число полных оборотов, совершаемых точкой при последовательном обходе сторон многоугольника.

Так, при обходе сторон звездчатого пятиугольника число оборотов равно двум и, следовательно, его сумма углов равна 1800. При обходе сторон звездчатых семиугольников число оборотов равно двум и трем и, следовательно, суммы углов этих семиугольников соответственно равны 1800 3 и 1800.

Понятие степени замкнутой ломаной, использованное в формуле суммы углов звездчатого многоугольника, обобщается до понятий степени замкнутой кривой и степени отображения, которые являются одними из основных в современной алгебраической топологии.

Из курсов высшей математики в педагогическом университете рассмотрим курс математического анализа, являющийся одним из наиболее трудных для освоения студентами, а успеваемость по нему - одна из самых низких.

Несмотря на довольно большое количество часов (6 в неделю в течение 4-х семестров (без теории функций действительного и комплексного переменных)), качество знаний студентов оставляет желать лучшего.

Попытки облегчить курс математического анализа привели к тому, что в последние годы из него ушли наиболее сложные вопросы, среди которых: фундаментальные последовательности и критерий Коши; ряды Фурье; предел и непрерывность отображений метрических пространств; дифференцирование отображений из Rn в Rm; поверхностные интегралы и многое другое.

Поскольку это не помогло, некоторые предлагают и дальше идти по пути сокращения изучаемого материала, фактически приближаясь к школьному курсу алгебры и начал анализа.

Таким образом, сложилась ситуация, при которой, с одной стороны, студенты испытывают трудности в освоении классического математического анализа, а с другой ─ мы не успеваем рассмотреть даже некоторые современные направления развития математического анализа, среди которых: функциональный анализ, вариационное исчисление и др.

То же самое относится к курсам алгебры и геометрии. Так, например, из курса геометрии полностью ушел раздел, касающийся дифференциальной геометрии и топологии, составляющий основу современного геометрического образования.

Мы не являемся сторонниками сокращения изучаемого материала по математическому анализу за счет удаления из него наиболее сложных и, как правило, наиболее важных тем. Наоборот, студенты педагогического университета должны, помимо хорошего знания классического дифференциального и интегрального исчисления, познакомиться с современными направлениями развития математического анализа и его приложениями. В отличие от курса для студентов МГУ здесь предполагается только знакомство, а не овладение современным математическим аппаратом.

Следует не ограничивать, не сужать кругозор студентов, а дать им возможность познакомиться со всем богатством, накопленным человечеством в области математики. В этом и состоит смысл гуманитаризации курса математики в педагогическом университете.

Укажем некоторые пути и резервы для решения этих проблем применительно к курсу математического анализа.

Можно отказаться от доказательства некоторых теорем, носящих вспомогательный характер или вводимых по аналогии с ранее доказанными теоремами, перенеся их в разряд самостоятельной работы.

Так, например, для самостоятельной работы можно перенести доказательство некоторых арифметических свойств показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Доказав теоремы о пределе суммы и произведения, аналогичную теорему о пределе частного можно отнести в самостоятельную работу.

Устранить дублирование между курсами алгебры, геометрии и математического анализа.

Так, например, в курсе математического анализа можно несколько сократить время на изучение площади и объема, учитывая, что они изучаются и в курсе геометрии.

Использовать такие определения и формулировки, которые позволяют избегать сложных доказательств и в то же время расширяют область приложений.

Так, например, обычно в курсе математического анализа длина кривой определяется как предел длин вписанных ломаных при стремлении диаметров разбиений к нулю. Доказательство того, что длина гладкой кривой выражается определенным интегралом, чрезвычайно громоздко и проводится обычно только для случая, когда кривая является графиком функции. В общем же случае параметрически заданной кривой формула принимается без доказательства.

Недостатком такого определения длины кривой является не только громоздкость доказательства общего случая, но и то, что этот способ не проходит при определении площади поверхности и уж тем более для более высоких размерностей.

Другой способ определения длины кривой основан на использовании бесконечно малых и определенного интеграла как суммы бесконечного числа бесконечно малых величин. Гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t),   t  , представляется состоящей из бесконечно большого числа бесконечно малых участков, соответствующих бесконечно малым приращениям dt параметра t. Учитывая гладкость, каждый такой участок можно считать бесконечно малым отрезком, соединяющим точки с координатами (x,y), (x+dx,y+dy), длина dl которого вычисляется по обычной формуле

dl=