Реферат: Пространственное вращение

(4.37)

Для этого, согласно уравнению (4.35), необходимо перемножить сами на себя выражения операторов однократного дифференцирования по координатам х,у,z через сферические переменные (4.32)–(.4.34) и затем взять сумму этих произведений. При этом следует учитывать, что перемножаются не числа, а операторы, и действие оператора из левой скобки на каждое слагаемое правой выполняется по правилам, аналогичным правилам дифференцирования произведения функций, т.е.

(4.38)

4.3.2.5. Ход преобразований продемонстрируем на примере одно­го из слагаемых лапласиана, например при этом, для сохранения упорядоченного характера записи выпишем новые слагаемые, получающиеся в результате дифференцирования, в столбец под каждым преобразуемым выражением. Это в некотором роде изменение привычного математического синтаксиса, цель которого – порядок и наглядность в записи

Cуммируя, получаем

. (4.37)

4.3.2.6. Аналогично получаются другие слагаемые лапласиана.

Результаты преобразований представлены в таблице 4.2. В её левом столбце перечислены слагаемые оператора Лапласа в декартовых координатах, а в верхней строчке – все операторы дифференцирования первого и второго порядков по всем сферическим переменным , включая перекрёстные, которые возникают в ходе преобразований. На пере­сечении строк и столбцов указаны коэффициенты перед последними – функции от , которые получаются при преобразовании слагаемых лапласиана, стоящих в левом столбце. Самая нижняя строчка представляет суммы по столбцам. Домножая эти суммы справа на соответствующие операторы верхней строки и суммируя результаты, получаем окончательное искомое выражение оператора Лапласа в сферической систе­ме координат:

(4.38)

4.3.2.7. Сгруппируем некоторые из слагаемых в (4.38) для более компактной записи

(4.39)

, (4.40)

В результате лапласиан приобретает вид

(4.41)

Таблица 4.2.

Коэффициенты преобразования оператора Лапласа.

			0	1	0

Табл. 4.2.1. Продолжение.

	0		0

4.3.2.8. Отдельные фрагменты лапласиана, построенные на раз­ных переменных, удобно обозначить самостоятельными символами. Для краткости переменные отметим в качестве индексов

(4.42)

(4.43)

. (4.44)

Вся чисто угловая часть лапласиана, заключенная в скобки в формуле (4.41) называется оператором Лежандра .

(4.45)

В целом же лапласиан оказывается такой комбинацией трёх операторов, которая обеспечивает далее разделение переменных во многих дифференциальных уравнениях, в том числе и в уравнении Шредингера, построенных на его основе:

(4.46)