Реферат: Расчетно-графическая работа

§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1п. Общий вид нелинейного уравнения

F(x)=0

Нелинейные уравнения могут быть двух видов:

1. Алгебраические
a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +… + a₀ = 0

2. Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции.

Значение х₀ при котором существует равенство f(x₀ )=0 называется корнем уравнения.

В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания корней делиться на два этапа:

1. Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.

2. Уточнение корня с заданной точностью.

Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.

Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность x_i сходящихся к корню x₀

Выходом из итерационного процесса являются условия:

1. │f(x_n )│≤ε

2. │x_n -x_n-1 │≤ε

рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных.

2 п. Метод половинного деления.

Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε, если известно, что f(a)*f(b)<0

Суть метода

Данный отрезок [a,b] делится пополам, т.е. определяется x₀ =(a+b)/2, получается два отрезка [a,x₀ ] и [x₀ ,b], далее выполняется проверка знака на концах, полученных отрезков для отрезка, имеющего условия f(a)*f(x₀ )≤0 или f(x₀ )*f(b)≤0 снова проводится деление пополам координатой х, снова выделение нового отрезка и так продолжается процесс до тех пор пока │x_n -x_n-1 │≤ε

Приведем ГСА для данного метода

3п. Метод итерации.

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε.

Суть метода

Дано f(x)=0 (1)

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=φ(x) (2). Выберем грубое, приближенное значение x₀ , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:

x₁ = φ(x₀ ) (3) , далее подставим х₁ в правую часть уравнения (3) получим:
x₂ = φ(x₁ ) (4)
x₃ = φ(x₂ ) (5)

Проделаем данный процесс n раз получим x_n =φ(x_n-1 )

Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел

x^* =lim x_n , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

Выражение (5) запишем как x^* = φ(x^* ) (6)
Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х₁ …х_n является сходящейся.
Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b] выполняется условие:

Приведем ГСА для метода итерации:

4 п. Метод касательных (Ньютона).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--