Реферат: Решение многокритериальной задачи линейного програмирования
где черта сверху у d, e и D означает, что эти величины приведены к точке х, = (1)n .
По существу, (8) – ЗЛП размера (R+m)xn (D®max), аее решение позволит найти все грани, составляющие p-множество Dx p .
Составляем с-таблицу, не учитывая пассивные ограничения, т.е e1 :
| Т1 | х1 | х2 | 1 |
| e2 | -1 | -1 | 2 |
| e3 | 5 | 1 | -6 |
| e4 | 1 | -1 | 0 |
| х1 | 1 | 0 | -1 |
| х2 | 0 | 1 | -1 |
| d1 | 1 | -2 | 1 |
| d2 | 1 | 1 | -2 |
| d3 | -1 | 4 | -3 |
| D | 1 | 3 | -4 |
В начале решается усеченная ЗЛП (под чертой):
| Т2 | х1 | d1 | 1 |
| e1 | -3/2 | 1/2 | 3/2 |
| e2 | 11/2 | -1/2 | -11/2 |
| e3 | 1/2 | 1/2 | -1/2 |
| х1 | 1 | 0 | -1 |
| х2 | 1/2 | -1/2 | -1/2 |
| x2 | 1/2 | -1/2 | 1/2 |
| d2 | 3/2 | -1/2 | -3/2 |
| d3 | 1 | -2 | -1 |
| D | 5/2 | -3/2 | -5/2 |
| Т3 | d3 | d1 | 1 |
| e1 | -3/2 | -5/2 | 0 |
| e2 | 11/2 | 21/2 | 0 |
| e3 | 1/2 | 3/2 | 0 |
| х1 | 1 | 2 | 0 |
| х2 | 1/2 | 1/2 | 0 |
| x2 | 1/2 | 1/2 | 1 |
| d2 | 3/2 | 5/2 | 0 |
| x1 | 1 | 2 | 1 |
| D | 5/2 | 7/2 | 0 |
| Т4 | e1 | d1 | 1 |
| d3 | 0 | ||
| x2 | 1 | ||
| d2 | 0 | ||
| x1 | 1 | ||
| D | -5/3 | -2/3 | 0 |
e1 ÎDx p , так как Dmax = 0.
Данный метод построения множества Dx p обладает недостатком, связанным с разрушением области допустимых решений (ОДР) Dx при переносе ее граней в х, . Действительно, вершины области Dx в преобразованной модели никак не отражены, а именно одна из них может составить p-множество в случае его совпадения с оптимальным решением. Такое совпадение возможно, если все ч-критерии достигают максимум на одной вершине. Физически это значит, что они слабопротиворечивы – угол при вершине д-конуса приближается к 180° (градиенты ч-критериев имеют практически совпадающие направления). Данный случай имеет место, если в p-множество не вошла ни одна из граней ОДР Dx . Следовательно, p-множество совпадает с оптимальным решением. Для определения p-множества решается обычная ЗЛП с одним из ч-критериев. Если при этом получено множество оптимальных решений, то решается ЗЛП с другим ч-критерием. Пересечение оптимальных решений и является p-множеством. Для ЛПР указание на то, что некоторая грань ei = ei p ÎDx p p-оптимальна, является только обобщенной информацией.
4.Определение альтернативных вариантов многокритериальной задачи
Наиболее естественным и разумным решением мк-задачи было бы органическое объединение всех ч-критериев в виде единой ЦФ. Иногда это удается сделать путем создания более общей модели, в которой ч-критерии являются аргументами более общей целевой функции, объединяющей в себе все частные цели операции. На практике этого редко удается достигнуть, что, собственно, и является основной причиной появления проблемы многокритериальности. Однако наиболее распространенный подход к решению проблемы пока остается все-таки один: тем или иным путем свести решение мк-задачи к решению однокритериальной задачи. В основе подхода лежит предположение о существовании некой функции полезности , объединяющей в себе ч-критерии, но которую в явном виде, как правило, получить не удается. Получение наиболее обоснованной «свертки» ч-критериев является предметом исследований нового научного направления, возникшего в связи с проблемой многокритериальности - теории полезности . В данной работе будут рассмотрены некоторые подходы, позволяющие получить варианты решения мк-задач при тех или иных посылках и которые лицо принимающее решение (ЛПР) должно рассматривать как альтернативные при принятии окончательного решения и которые, конечно, должны удовлетворять необходимому условию- p-оптимальности.
4.1.Метод гарантированного результата
При любом произвольном решении х ÎDx каждый из ч-критериев примет определенное значение и среди них найдется, по крайней мере, один, значение которого будет наименьшим :
|
Метод гарантированного результата (ГР) позволяет найти такое (гарантированное) решение, при котором значение «наименьшего» критерия станет максимальным. Таким образом, целевая функция (ЦФ) является некоторой сверткой ч-критериев (9), а МЗЛП сводится к задаче КВП (кусочно-выпуклого программирования) при ОДР Dx , заданной линейными ограничениями.
Исходные условия записываем в каноническом виде:
d1 = х1 - 2х2 - j + 2,
d2 = х1 + х2 - j + 4,
d3 = -х1 + 4х2 - j + 20,
e1 = -х1 - х2 + 15,
e2 = 5х1 + х2 - 1,
e3 = x1 - х2 + 5,
потом в виде с-таблицы:
| Т1 | х1 | х2 | j | 1 |
| e1 | -1 | -1 | 0 | 15 |
| e2 | 5 | 1 | 0 | -1 |
| e3 | 1 | -1 | 0 | 5 |
| d1 | 1 | -2 | -1 | 2 |
| d2 | 1 | 1 | -1 | 4 |
| d3 | -1 | 4 | -1 | 20 |
Вводя в базис переменную j (d1 «j), получаем обычную ЗЛП при максимизации ЦФ j.
| Т2 | х1 | х2 | d1 | 1 |
| e1 | -1 | -1 | 0 | 15 |
| e2 | 5 | 1 | 0 | -1 |
| e3 | 1 | -1 | 0 | 5 |
| j | 1 | -2 | -1 | 2 |
| d2 | 0 | 3 | 1 | 2 |
| d3 | -2 | 6 | 1 | 18 |
| Т3 | d3 | x2 | d1 | 1 | bi /ais |
| e1 | 1/2 | -4 | -1/2 | 6 | 6/4 |
| e2 | -5/2 | 16 | 5/2 | 44 | - |
| e3 | -1/2 | 2 | 2 | 14 | - |
| j | -1/2 | 1 | -1/2 | 11 | - |
| d2 | 0 | 3 | -1 | 2 | - |
| х1 | -1/2 | 3 | 1/2 | 9 | - |
| Т4 | d3 | e1 | d1 | 1 |
| x2 | 3/2 | |||
| e2 | 68 | |||
| e3 | 17 | |||
| j | -3/8 | -1/4 | -5/8 | 25/2 |
| d2 | 13/2 | |||
| х1 | 27/2 |
Решение ЗЛП приводит к конечной с-таблице Т4 . Видно, что полученное гарантированное решение х p-оптимально, поскольку введение в базис любой свободной переменной (т.е. ее увеличение) приведет к снижению j - нижнего уровня ч-критериев ("сj < 0). Из таблицы также видно, что решение х0 =(27/2; 3/2) находится на грани e4 , при этом значения ч-критериев равны (находим по формуле Lr ( xr ) = j + d r ):
L1 = L3 =j = 25/2
L2 = j + d2 = 25/2 + 13/2 = 19
LS = 88/2 = 44
x° = ( 27/2; 3/2)
Если бы в строке j имелись нули, то это означало бы, что одну из соответствующих переменных можно ввести в базис (увеличить без снижения уровня j). Это могло бы привести и к увеличению приращения dr для некоторого ч-критерия, находящегося в базисе.
4.2.Метод линейной свертки частных критериев
Линейная свертка ч-критериев получается как х сумма с некоторыми весовыми коэффициентами mr :
|
где
|
Меняя порядок суммирования и вводя обозначения cj и c0 , окончательно получим:
|
Коэффициенты веса обычно получаются путем опроса экспертов из соответствующей предметной области. Поскольку вектор m = (mr ) – суть вектор-градиент ЦФ Lm (x), то предполагается, что он указывает направление к экстремуму неизвестной функции полезности . Положительная сторона такого подхода – несложность, не всегда компенсирует его серьезный недостаток – потерю физического смысла линейной свертки разнородных ч-критериев. Это затрудняет интерпретацию результатов, поэтому полученное таким путем решение, следует рассматривать только как возможный (альтернативный) вариант решения ЛПР. Для его сравнительного анализа следует привлекать любые другие варианты и, конечно, значения ч-критериев, получаемые при этом. Иногда при получении свертки ч-критериев предварительно нормируются каким-нибудь способом.
Наиболее приемлемой линейная свертка ч-критериев может оказаться в том случае, когда ч-критерии однородны и имеют единый эквивалент, согласующий их наиболее естественным образом.