Реферат: Решение уравнений с параметрами

2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все хR.

3. а = 0, b0. Уравнение 0х = b

решений не имеет.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.

Ответ:

х = при а 0, b – любое действительное число;

х – любое число при а = 0, b = 0;

решений нет при а = 0, b ≠ 0.

Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями

1. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} не имеет корней?

Решение : преобразуем заданное уравнение: 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} ; 15·10 ^х + n· 10^{х + 1} = n + 20; 10 ^х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 ^х = .

Уравнение не будет иметь решений при ≤ 0, поскольку 10 ^х всегда положительно.

Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.

Ответ : .

2. Найдем все значения параметра а , при которых уравнение lg² (1 + х² ) + (3а – 2)· lg(1 + х² ) + а² = 0 не имеет решений.

Решение : обозначим lg(1 + х² ) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z² + (3а – 2) · z + а² = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)² – 4а² = 5а² – 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а² – 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2.

Ответ: (0,4; 2).

3. Найдем наибольшее целое значение параметра а , при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.

Решение : преобразуем заданное уравнение:

cos2x + a sinx = 2a – 7; 1 – 2sin² х – asinx = 2a – 7; sin² х - a sinx + a – 4 = 0;

(sinх – 2) · = 0.

Решение уравнения (sinх – 2) · = 0 дает:

(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.

sinх - = 0; х = (-1)ⁿ arcsin + πn, nZ при ≤ 1. Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ : 6.

4. Указать наибольшее целое значение параметра а , при котором корни уравнения 4х² - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).

Решение : корни заданного уравнения равны: х₁ =(1+ )

х₂ =, при этом а ≤ .

По условию -1 < (1+ ) < 1 < < 3,