Реферат: Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло

Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Если , то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций.

Свойcтво1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области , не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе непрерывные заданные значения.

Доказательство. Пусть – максимум значений на границе . Допустим, что функция в некоторой точке внутри принимает значение , причем .

Составим вспомогательную функцию

,

где – диаметр области . Очевидно, имеем

,

причем при выполняется неравенство

.

Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке , причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции:

.

Из соотношения

вытекает, что по крайней мере одна из производных или положительна внутри . Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, .

Аналогично доказывается, что , где – наименьшее значение функции на границе .

Следствие. Пусть функция – гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области . В таком случае справедливо равенство

,

где на , на .

Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений.

Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области , принимающих, на границе одни и те же значения.

Доказательство. Допустим, что две функции и гармонические в области , совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию

.

Очевидно, что на – гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, внутри и .

Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области , то оно единственно.

Можно доказать, что если область выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана).

Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.

Доказательство. Допустим, что и – решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение и .

Пусть всюду на выполнено неравенство

,

где – произвольное малое положительное число.