Реферат: Роль математических методов в экономическом исследовании

Выбор плана означает указание интенсивностей использования различных технологических способов, т.е. план определяется вектором x = (x1, x2,..., xS ) c неотрицательными компонентами [4 (32)].

Обычно на количества выпускаемых и затрачиваемых ингредиентов накладываются ограничения: произвести нужно не менее, чем требуется, а затрачивать не больше, чем имеется. Такие ограничения записываются в виде

s

S a ikxk > bi ; i=1,2,...,m. (1)

k=1

Если i > 0, то неравенство означает, что имеется потребность в ингредиенте в размере i, если i < 0,то неравенство означает, что имеется ресурс данного ингредиентов размере - i =¦ i¦. Далее предполагается, что использование каждого способа, связанного с расходом одного из перечисленных ингредиентов или особо выделенного ингредиента в количестве Ck при единичной интенсивности способа k. В качестве целевой функции принимается суммарный расход этого ингредиента в плане.

s

f(x) = S ckxk. (2)

k=1

Теперь общая задача линейного программирования может быть представлена в математической форме.

Для заданных чисел aik, ck, и bi найти

s

min S ckxk

k=1

при условиях

k > 0, k = 1,2,...,s [1]

s

S aikxk > bi, i = 1,2,...,m [2]

k=1

План, удовлетворяющий условиям [1] и [2], является допустимым, а если в нем , кроме того, достигается минимум целевой функции, то этот план оптимальный.[K33]

Задача линейного программирования двойственна, то есть, если прямая задача имеет решение, (вектор x =( x1, x2,..., xk)), то существует и имеет решение обратная задача основанная на транспонировании матрицы прямой задачи. Решением обратной задачи является вектор y = ( y1, y2... ,ym)компоненты которого можно рассматривать как объективно обусловленные оценки ресурсов, т.е. оценки, показывающие ценность ресурса и насколько полно он используется.

На основе объективно обусловленных оценок американским математиком Дж. Данцигом - был разработан симплекс-метод решения задач оптимального программирования. Этот метод весьма широко применяется. Алгоритм его весьма детально проработан, и даже составлены прикладные пакеты программ, которые применяются во многих отраслях планирования.

Метод линейной оптимизации с того момента, как он был разработан Канторовичем, не оставался без изменений, он развивался и продолжает развиваться. Например, формула (2) в современной интерпретации выглядит следующим образом.

S aij xj < bi (i Î I) (3)

j ÎA1

В чем же отличие?

Во-первых ограничение записывается не больше, либо равно , а меньше, либо равно, что больше соответствует экономическому смыслу правой стороны ограничения (bi - количество ресурсов). У Канторовича же ресурс записывается - bi = ¦bi¦ - т.е. отрицательным числом, что для экономического склада ума неестественно ( как может быть ресурса меньше нуля).

Во-вторых, суммирование производится не по всем способам производства, а лишь по определенному их подмножеству (j Î A1),что также соответствует экономическим реалиям, когда по технологическим, или другим причинам не все способы производства участвуют в каком-либо конкретном ограничении.

Аналогично и с ресурсами, в ограничении участвуют не все ресурсы сразу , а какое-то их подмножество (i Î I).