Реферат: Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

Если рассм. мн-во Z, то в Z ур-е a*x=b не всегда разрешимо. => расшир-е кольца целых чисел до поля Q-рац-х чисел. (Др. причина – измерение отрезков не всегда выр-ся целым числом). При этом должны вып-ся усл-я: 1. Z подкольцо кольца Q. 2. ур-е a*x=b, a#0 одноз-но разреш. Ґa,bЄQ. 3. Q должно быть миним. расш. с-ы Z. С-а Q явл-ся полем, кот. наз-ся поле рац-х чисел.

Рассм. мн-во Q={p/q| pЄZ,qЄN}. на мн-ве дробей рассм. отнош. равносильности “~”: p/q~k/l  p*l=k*q. Покажем, что это отнош-е эквивал-ти. 1. a/b~a/b. т.к. a*b=a*b (рефл-ть). 2. a/b~c/d => c/d~a/b (сим-ть). Проверим a/b~c/d  a*b=b*c => c*b=d*a  c/d~a/b. 3. a/b~c/d ^ c/d~e/f => a/b~e/f (тран-ть). a/b~c/d ^ c/d~e/f => a*d=c*b ^ c*f=d*e => a*d*c*f=c*b*d*e. a*f=b*e =>a/b~e/f. Если с=0, то все 3 др. 0, т.е. равн-ы. Отнош-е равн-ти дроби на Q явл-ся отнош-м экв-ти => равнос-е дроби также явл-ся эквив-ми.

Св-во экв-х дробей: 1. a/b~(a*c)/(b*c) c#0. Всякому отнош-ю эквивл-ти соот-т разбиение на классы экв-ти. Класс эквив-х дробей наз-ся рац-м числом. Рац-е число хар-ся Ґ из своих представителей. Дроби, вход-е в один и тот же класс пред-т ! рац-е число => считаются равными. p/q, где q≠0 наз-ся несократ-й записью, если НОД(a,b)=1. Для Ґ положит-го q сущ-т ! запись в виде несократ-й дроби. Введем на Q отнош-е «меньше» так, что q0. Легко видеть, что отн-е «<» явл-ся отн-м строгог порядка, т.е. оно антиреф., антисим., транзит. И явл-ся отнош-м линейного порядка,т.е. Ґq₁,q₂ЄQ вып-ся ! из: q₁2, q₁=q₂, q₁>q₂. Можно показ-ть, что для отнош-я «<» вып-ся монот-ть сложения и монот-ть умнож-я: 1. (Ґq₁,q₂,cЄQ)(q₁2 => q₁+c2+c). 2. (Ґq₁,q₂,cЄQ)(q₁2 ^ c>0 => q₁*c2*c). Док-во: Пусть q₁1, тогда q₂-q₁>0. Найдем: q₂*c-q₁*c=c*(q₂-q₁)>0 (т.к.c>0, q₂-q₁>0). q₂*c-q₁*c>0 => q₁*c2*c. Св-ва мн-ва Q. 1. ВQ нет ни наим, ни наиб. числа. 2. Q – счетное мн-во, т.к. можно устанть биек-е отображ-е, f:Q>--->>N. Q-полтно, т.е. что между Ґ 2 пац-ми числами нах=ся беск-но много рац-х чисел. 4.Q- поле рац-х чисел. 5. Поле Q явл-ся лин.-упор-м полем.

При обращ-и обыкнов-й несокр-й a/b в десят-ю возм-ы случаи: 1) Если в разлож. знамен. b на простые множ-ли встреч-ся только 2 или 5, то несокр. дробь a/b обращ-ся в конеч. дес-ю. 2) Если НОД(b,10)=1, то a/b представима в виде бескон-й чисто период-й десят-й дроби. 3) Если в разлож-и b на простые множ-ли кроме 2 и 5 встреч-ся другие числа, то дробь обращся в смешан-ю период-ю десят-ю дробь.

Вопрос 5.

Поле комплексных чисел(к.ч.). Геом-е предс-е к.ч. и операции над ними. Тригон-я форма к.ч.

Х¹+1=0 (1) не разрешимо в R – причина расширения с-ы R до с-ы чисел, в кот-й (1) имело бы реш-е. В кач-ве строит-го матер-ла можно взять точки плоск-ти: M={(a,b)|a,bЄR}. Т.к. точки плос-т нам не приход-сь умн-ть и склад-ть, то опер-ции над ними можно задать так, чтобы мн-во было полем, содерж-е поле R и в кот-м (1) имело бы реш-е: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c) и (a,b)=(c,d)  a=c ^ b=d. Можно док-ть, что слож-е и умнож-е комут-ы, ассоц-ы и связ-ы дист-м законом. Для них вып-ся обратные опер-ции: вычит-е, делен-е, кроме дел-я на 0,т.е. ур-я (c,d)+(x,Y)=(a,b) и (c,d)*(x,y)=(a,b), где (c,d)≠(0,0) одноз-но разр-мы. Нейтр-й Эл-т относ-о слож-я: 0=(0;0). Нейтр-й Эл-т отн-о умнож-я: 1=(1;0). 1) С-а M=(M,0,1,+,-,*) поле. 2) M явл-ся расш-м поля R, т.е. R’ содер-ся в M изоморф-е полю R. R’={(a,0)|aЄR}. R’-подполе поля M, т.е.R’ замкнуто относ-о всех опер-й кольца и Ґ эл-а ≠0 из R’ обратный Эл-т также ЄR’. 3) R изоморфно R’. Можно уст-ть биект-е отобр-е: φ:R R’; φ: a (a,0) и вып-ся 2 усл-я: образ суммы двух эл-в = сумме образов, образ произв-я 2 эл-в = произв-ю образов. С – поле к.ч. Покажем, что (1) разреш. Возьмем точку i=(0,1): (0,1)*(0,1)=(-1,0)≡-1. i – корень ур-я (1), мнимая единица, расп-я на ОУ. Запись: (a,b)=a+b*i алгеб-я, α=|α|*(cosφ+i*sinφ) триг-я, где |α|=; cosφ=a/|α|; sinφ=b/|α|. 1. Чтобы умнож-ть 2 к.ч. в триг-м виде, нужно переем-ть их модули и сложить аргументы (углы). 2. Разд-ть 2 к.ч.: разд-ть их модули и вычесть аргум-ы. 3. Чтобы возвести к.ч. в целую полож-ю степень, нужно воз-ти в эту степень модуль и аргумент умнож-ть на показ-ль степени. 4. Чтобы извлечь из к.ч. корень n степени нужно извлечь корень из модуля и (аргумент +2Пк)/n, где кЄZ. Придавая к разл-е знач-я, получ-т серии повтор-ся знач-й, т.е. к=0,1,…n-1.

Вопрос 6.

Мн-ны от одной переменной.

Пусть А=(А,0,1,+,-,*) – обл-ть целостности. Построим с пом-ю его новое комут-е кольцо A[x], основанное на мн-ве,, которое есть мн-во бесконечных послед-й, облад-х св-м: в них лишь конечное число коэф-в ≠0, т.е. A[x]={(a₀,a₁,…)|a₀,a₁,…ЄA}, a_i≠0 конеч-е число. Такие посл-ти наз-ся полиномами от 1 неиз-го. Равенство полиномов и операции над ними опре-ся так: 1. (a₀,a₁,…)=(b₀,b₁,…)  a₀=b₀ и a₁=b₁ и…. 2. (a₀,a₁,…)+(b₀,b₁,…)=(a₀+b₀, a₁+b₁…). 3. (a₀,a₁,…)*(b₀,b₁,…)=(a₀b₀, a₁b₁…). 4. 0=(0,0,0,…). 5. 1=(1,0,0,…). 6. -(a₀,a₁,…)=(-a₀, -a₁…). Нетрудно проверить: 1) с-а (A[x],0,+,-) аддитивная абелева группа, 2) с-а A[x],1,*) – мультипликативный моноид, 3) + и * связаны дистрибутивным законом. С-а A[x]=(A[x],0,1,+,-,*) – комут-е кольцо. Другой вид записи полинома: f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m. Слагаемые в записи f(x) наз-ся одночлекнами, а f(x) наз-ся мн-м от 1 неизв-го. Эл-ы аЄА наз-ся мн-ми нулевой степени. Св-ва. Пусть А – обл-ть целостности. Кольцо полиномов от 1 неизв-го A[x]=(A[x],у, 1,+, -,*) – обл-ть целостности. => Если степень f(x)=n и степень g(x)=m => степень f(x)g(x)=n+m. Пусть А – обл-ть целостности. Делителем единицы кольца полиномов A[x] явл-ся делители единицы кольца А. В обл-ти цел-ти A[x] других делителей единицы нет.

Рассм-м кольцо мн-на Р[x] над полем Р. Мы знаем, что Ґ числов-е поле явл-ся обл-ю целостности с бескон-м числом эл-в. В кольце полиномов Р[х] теорема о делении с остатком имеет место для Ґf(x), g(x)ЄP[x], что g(x)≠0. Мн-н f(x) делится на мн-н g(x)≠0, если сущ-т мн-н n(x)ЄP[x], что f(x)=g(x)n(x). Деление не всегда будет выполнимо в кольце Р[x]. Св-ва. 1. Ґf(x)ЄP[x], f(x)|f(x). 2. f(x), g(x)ЄP[x], g(x)|f(x) и f(x)|g(x) => f(x) и g(x) ассоц-ы, f(x)=cg(x), cЄP[x]. 3. g(x)|f(x) и φ(x)|g(x) => g(x)|(f(x)±φ(x)). 4. Если f₁(x), f₂(x),…, f_k(x) делятся на g(x), для Ґc₁, c₂,…c_kЄР, то сумма [c₁f₁(x)+c₂f₂(x),…,c_kf_k(x)] делится на g(x). 5. Если g(x)|f₁(x) => f₁(x)f₂(x)…f_k(x) делится на g(x). 6. Если f₁(x)|g(x), f₂(x)|g(x),…f_k(x)|g(x) => g(x)|[ n₁(x)f₁(x)+ n₂(x)f₂(x)+…+n_k(x)f_k(x)], n_i(x), f_i(x), g_i(x)ЄP[x], i=1,2,…k. 7. Если n(x), f(x), g(x)ЄP[x] и n(x)|f(x) и g(x)|n(x), то g(x)|f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из Р[х] явл-ся делителями Ґf(x)ЄP[x]. 9. Мн-ны cf(x), где с≠0 и только они будут делителями мн-на f(x) имеюш-ми такую же степень, что и f(x). 10. ҐДелитель f(x), cf(x), c≠0 будут делителями и для другого мн-на. Пусть Ґf(x), g(x)ЄP[x]. Общим делителем мн-в f(x), g(x) явл-ся такой мн-н d(x)ЄP[x], что d(x)|f(x) и d(x)|g(x). Нод(f(x), g(x)) наз-ся мн-н D(x) такой, что 1. D(x)=ОД(f(x), g(x)), 2. d(x)|D(x), где d(x)=ҐОД(f(x), g(x)). Покажем, что НОД сущ-т для Ґмн-в f(x), g(x)ЄP[x]≠0. пусть степень f(x) ≥ степени g(x). Делим f(x) на g(x) с остатком f(x)=g(x)q(x)+r₁(x). Если r₁(x)=0, тогда НОД(f(x), g(x))=q(x). Если r₁(x)≠0, то степень r₁(x)< степени g(x), но >0. Делим g(x) на r₁(x) с остатком g(x)=r₁(x)q₁(x)+r₂(x). Если r₂(x)≠0, 0< степень r₂(x) < степень r₁(x), делим r₁(x) на r₂(x) с ост-м r₁(x)=r₂(x)q₂(x)+r₃(x). и т.д. Т.к. степень остатков понижается оставаясь не отриц-й, то через конечное число шагов мы придем к остатку r_k(x), на который разделится предыд-й остаток. Этот процесс наз-ся Алгоритмом Евклида. Итак, применяя алгор-м Евкл-а для мн-в f(x) и g(x) мы получили совокупность f(x) = g(x)q(x)+r₁(x), g(x) = r₁(x)q₁(x)+r₂(x), r₁(x) = r₂(x)q₂(x)+r₃(x) … r_k-2(x) = r_k-1(x)q_k-1(x)+r_k(x), r_k-1(x) = r_k(x)q_k(x) (1). Док-м, что послед-й ≠0 остаток r_k(x) в алгоритме Евк-а явл-ся НОД. Будем рассм-ть (1) снизу вверх: r_k(x)|σ_k-1(x), r_k(x)|σ_k(x) и σ_k(x)|σ_k-1(x) => r_k(x)|r_k-2(x)…, r_k(x)|r_k-2(x) и r_k(x)|r₁(x) => r_k(x)|g(x), r_k(x)|r₁(x) и r_k(x)|g(x) => r_k(x)|f(x). Получим, что r_k(x)|f(x) и σ_k(x)|g(x) => σ_k(x)= ОД(f(x),g(x)). Покажем, что r_k(x)=НОД(f(x), g(x)). Пусть n(x) - Ґдругой ОД(f(x), g(x)). Рассм-м (1) сверху вниз: n(x)|f(x) и n(x)|g(x) => n(x)|r₁(x), n(x)|g(x) и n(x)|r₁(x) => n(x)|r₂(x), n(x)|r₁(x) и n(x)|r₂(x) => n(x)|r₃(x)… n(x)|r_k-2(x) и n(x)|r_k-1(x) => n(x)|r_k(x). Получили: n(x)|r_k(x)=ОД(f(x), g(x)) => r_k(x)=НОД(f(x), g(x)). Итак, мы док-ли, что последний ≠0 остаток в алгор-е Евклида явл-ся НОД для мн-в f(x) и g(x). Нетрудно убелиться, что НОД мн-в f(x) и g(x) явл-ся ! с точностью до мн-ля нулевой степени. Действительно, пердположим, что D₁(x)=НОД(f(x), g(x)) и D₂(x)=НОД(f(x), g(x)). Т.к. D₁(x)=НОД(f(x), g(x)) => D₂(x)|D₁(x), а т.к. D₂(x)=НОД(f(x), g(x)), то имеем D₁(x)|D₂(x). Получим: D₂(x)|D₁(x) и D₁(x)|D₂(x) => св-во 2 D₁(x)=cD₂(x). Алгоритм Евклида показываем, что если f(x) и g(x) имеют оба рац-е коэф-ы или оба действ-е коэф-ы, то и коэф-ы их НОД будут соотв-о или рац-ми, или дейст-ми. Если D(x)=НОД(f(x), g(x)), где f(x), g(x)ЄP[x], то сущ-т φ(x), ψ(x)ЄP[x], что f(x)φ(x)+g(x)ψ(x)=D(x). Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x): f(x) = g(x)q(x)+r₁(x), g(x) = r₁(x)q₁(x)+r₂(x), r₁(x) = r₂(x)q₂(x)+r₃(x) … r_k-2(x) = r_k-1(x)q_k-1(x)+r_k(x), r_k-1(x) = r_k(x)q_k(x). Перепишем все рав-ва алго-а Евклида, кроме послед-го (1). Выразим остаток из каждого равенства r₁(x)=f(x)-g(x)q(x), r₂(x)=g(x)-r₁(x)q₁(x), r₃(x)=r₁(x)-r₂(x)q₂(x)…r_k(x)=r_k-2(x)-r_k-1(x)q_k-1(x) (1). Перепишем первое рав-во (1): r₁(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)). Обозначим φ₁(x)=1, ψ₁(x)=-q(x), тогда имеем r₁(x)=f(x)φ₁(x)+g(x)ψ₁(x). Теперь второе из (1): r₂(x) = g(x)-r₁(x)q₁(x) = g(x)-(f(x),φ₁(x) + g(x)ψ₁(x)) q₁(x) = g(x)-f(x)φ₁(x)q₁(x)-g(x)ψ₁(x)q₁(x) = f(x)(-φ₁(x)q₁(x)) + g(x)(1-ψ₁(x)q₁(x)) = f(x)φ₂(x)+g(x)ψ₂(x). r₂(x) = f(x)φ₂(x)+g(x)ψ₂(x). Подставим полученное выражение для r₁(x) и r₂(x) в выражение для r₃(x) из (1). Получим, проделывая аналогичные преобразования r₃(x)= f(x)φ₃(x)+g(x)ψ₃(x). и т.д. опускаясь ниже получим r_k(x)= f(x)φ_k(x)+g(x)ψ_k(x). Как было док-но выше r_k(x) явл-ся НОД мн-в f(x) и g(x) , причем НОД определен с точностью до множ-ля нулевой сиепени. Умножая обе части последнего равенства на с: cr_k(x)= f(x)(cφ_k(x))+g(x)(cψ_k(x)).

Вопрос 7.

Неприводимые над полем многочлены.

Мн-н f(x)ЄP[x] наз-ся неприводимым над полем Р, если он не разлагается в произведение многоч-в положительной степени над полем Р. Мн-н наз-ся приводимым над полем Р, если он разлагается в произведение мн-в положит-й степени. Вопрос приводимости зависит от того поля, над которым мы его рассматриваем. Н-р, 1)f(x)=x²-2 неприводим над полем Q, но приводим над полем R. 2) f(x)=x²+1 неприводим над R, приводим над C. 3)φ(x)=x+1 непривд-м ни над одним числовым полем. Над полем ком-х чисел неприво-м только мн-ы 1-й степени. Над полем дейст-х чисел неприводимы мн-ны 1-й степени и квадратный трехчлен, у которого дискр-т <0. Иначе в поле рац-х чисел. Здесь Ґ n нат-го можно подобрать мн-н n-й степени неприводимого над полем Q рац-х чисел. Критерий Эйзенштейна. Если для f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…a_n-1x+a_n, f(x)ЄQ[x] можно подобрать р – простое число, что 1) р|a₀(черта) – не делится на р, 2) все остальные коэф-ы делятся на р: p|a₁, p|a₂,…p|a_n 3) p|a_n, но p²|a_n(с чертой) – не делится на р, то f(x) неприводима над полем Q. Если для мн-на f(x) нельзя подобрать р простое число, чтобы вып-сь требование Эйз-на, то мн-н может быть как приводимым, так и не приводимым над полем Q. Св-ва. 1. p₁(x), p₂(x)ЄP[x] неприводимы над полем P и p₂(x)|p₁(x) => эти мн-ны отлич-ся друг от друга множ-м нулевой степени. (Док-во. Т.к. p₁(x) - неприводим, то в p₁(x) = p₂(x)g(x) один из множ-й есть мног-н нулевой степени g(x)=c-const. Т.о. p₁(x) = p₂(x)c. Мног-ны p₁(x), p₂(x) явл-ся ассоциированными.) 2. Ґf(x)ЄP[x], p(x)ЄP[x] – непривомн-н => либо f(x), p(x) взаимно просты, либо p(x)|f(x). (Док-во. Т.к. p(x) неприводимый мн-н, то возм-ы 2 случая:1) НОД(f(x),p(x))=c-const, тогда f(x), p(x) – взаимно просты. 2) НОД(f(x),p(x))=D(x), где D(x)=cp(x), но тогда т.к. D(x)|f(x) => cp(x)|f(x) => p(x)|f(x)). 3) Если произ-е p(x)|f(x)g(x), где p(x), f(x), g(x)ЄP[x] и p(x) – непривод-м над полем P, р(x)|f(x) или p(x)|g(x). Это св-во можно распрост-ть и на случай произвольного числа множ-й.

Теорема. Ґ мн-н f(x)ЄP выше нулевой степени явл-ся неприводимым над полем Р или разлагается в произведение неприводимых мн-в. f(x)=p₁(x)p₂(x)…p_n(x) (*), где p_i(x) – неприводимые мн-ны над полем Р, i=1,2,…n, причем это разложение явл-ся ! с точностью до порядка. Док-во. 1) Док-м возможность представления (*). Пусть мн-н f(x) выше нулевой степени. Если f(x) неприводим, то теорема док-на. Если f(x) приводим, то f(x)=f₁(x)f₂(x). Если оба мн-на f₁(x) и f₂(x) неприводимы над полем Р, то теорема док-на, если хотя бы 1 из них приводим над полем Р, то его разлагают в произведение множ-й положит-й степени. и т.д. Этот процесс конечен, т.к. степень мн-й в разложении f(x) уменьшается, оставаясь положит-ми и их может быть лишь конечное число. Итак, в конце концов мн-н f(x) будет предст-н в виде произвед-я непривод-х мн-й, т.е. в виде (*). 2) Док-м ! разложения мн-на f(x) на непривод-е мн-ли. Пусть f(x) допускает 2 разложения: f(x)=p₁(x)p₂(x)…p_n(x) (1) и f(x)= q₁(x)q₂(x)…q_n(x) (2). p₁(x), …p_n(x), q₁(x),…,q_n(x) неприводимые над полем Р мн-ны. Левые части равны => равны и правые части. p₁(x)p₂(x)…p_n(x)=q₁(x)q₂(x)…q_n(x) (3). Левая часть делится на р₁(х) => и правая часть делится. Т.к. р₁(х) неприводим, то на р₁(х) разделится хотя бы один мн-ль правой части. Пусть р₁(х)|q₁(x). А т.к. р₁(х) и q₁(x) неприво-ы и один из них дел-ся на другой, то они ассоциированы, т.е. q₁(x)=ср₁(х). Подставляя это выр-е в (3) и сокращая обе части на р₁(х): p₂(x)…p_k(x)=c₁q₂(x)q₃(x)…q_l(x) (4). Аналогично расс-я относительно p₂(x) из (4): p₃(x)…p_k(x)=c₁с₂ q₃(x)q₄(x)…q_l(x). И т.д. утверждаем, что k=l. Предположим противное. Пусть k1с₂…q_k+1(x)…q_l(x). Но это рав-во невозможно, т.к. в левой части стоит мн-н нулевой степени, а в правой – мн-н выше нулевой степени. Итак, k=l, Разложение (1) и (2) сост-т из одинакого числа множ-й и могут отлич-ся лишь ассоц-и множ-ми.■ В разложении мн-на f(x) могут встречаться ассоц-е множ-ли. Объединяя в разложении f(x) на неприводимые мн-ли, ассоц-е мн-ли мы получим каноническое разложение.

Вопрос10.

С-ы лин-х ур-й. Равнос-е с-ы ур-й. Критерий совм-ти с-ы лин-х ур-й.

Пусть Р- поле скаляров. С-й лин-х ур-й с n неизв-ми х₁, х₂, …х_n наз-ся с-а вида: а₁₁*х₁+а₁₂*х₂ +…+а_1n*x_n=b₁, … а_m1*х₁+а_m2*х₂ +…+а_mn*x_n=b_n (1), a_ij,b_iЄP. Числа a_ij наз-т коэф-ми с-ы, b_i своб-е члены. Вектор О(а₁₁,а₁₂,…а_1n)ЄР наз-т решением с-ы (1), если он удов-т Ґ ур-ю с-ы. С-а лин-х ур-й наз-ся совм-й, если она имеет хотя бы 1 реш-е, и несовм-й в противном случае. Если совм-я с-а лин-х ур-й имеет ! реш-е, то она наз-ся определ-й, если реш-й бескон-е мн-во, то она неопределенная. 2-е с-ы лин-х ур-й наз-ся равносильными, если Ґ реш-е Ґ из этих с-м явл-ся реш-м другой с-ы. Элемен-е преобр-я: 1) перестан-ка 2 ур-й в с-е. 2) умнож-е обих частей ур-я на ≠0 скаляр. 3) удаление ур-я вида 0=0. 4) прибавл-е к обеим частям какого-либо ур-я соответ-х часте другого ур-я, умнож-е на одно и тоже число. При Ґ элем-м преоб-и матрицы Ā получ-ся с-а лин-х ур-й равнос-я первонач-й с-е ур-й.

Матрица А, сост-я из коэф-в при неизв-х с-ы (1), наз-ся главной матрицей с-ы. Если к глав-й мат-е А присоед-ть столбец своб-х членов, то получ-ся расшир-я мат-ца с-ы.

Т. Кронекера-Капелли. С-а ур-й лин-но незав-х ур-й совместна  ранг глав-й мат-цы = рангу расш-й мат-цы. Док-во. 1) Пусть (1) совм-на. α₁,α₂,…α_n – реш-е с-ы (1). Тогда получим вер-е рав-ва:

а₁₁*α₁+а₁₂*α₂ +…+а_1n*α_n=b₁, а₂₁*α₁+а₂₂*α₂ +…+а_2n*α_n=b₂,… а_m1*α₁+а_m2*α₂ +…+а_mn*α_n=b_m (2). Выч-м ранг расш-й мат-цы: rangĀ=rang= rang= rang= rangA. 2) Пусть rangA=rangĀ=r. Док-м, что (1) совм-а. Мат-ца А имеет r лин-но незав-х столб-в. Эти столб-ы лин-но незав-ы в мат-це Ā и сохр-т св-во максим-ти. В силу совпад-я рага: найдутся такие числа х₁=α₁, х₂=α₂, …х_n=α_n, что столбец своб-х чл-в будет выраж-ся через первые r столб-в => и через всю с-у столб-в матницы Ā, т.е. справед-о (2). => Веркор (α₁,α₂,…α_n) – реш-е с-ы (1).

Метод Гаусса – м-д последов-го исключения неизв-х. Сводится к привед-ю с-ы лин-х ур-й к ступен-у виду, при этом получ-ся с-а равнос-я данной. Если в рез-те элем-х преоб-й получ-но ур-е с коэф-ми в левой части =0 , а своб-е члены ≠0, то с-а несовм-на. Если и своб-е члены =0, то это ур-е удаляется из с-ы. С-а лин-х ур-й явл-ся опред-й, т.е. имеет ! реш-е, если ступ-я с-а лин-х ур-й имеет треуг-й вид. В этом случ-е послед-е Ур-е с-ы содержит только 1 неизв-ю. Если ступ-я с-а имеет вид трапеции, то с-а неопределенная. Тогда в послед-м Ур-и с-ы несколько неизв-х (k

Вопрос 11.

Векторные пространства.

Пусть Р= (Р,0,1,+,-,*)-поле скаляров. С-а V=(V,ό,+,-,ω_α), V-основное мн-во, ό-выдел-й элемент, “+”-бинар-я опер-я, “-”-унарн-я опер-я, ω_α - унарн-я опер-я умнож-е эл-а из V на скаляр из Р ω_α: V--> V, ω_α(α)=α*xЄV, αЄP, xЄV. С-а V – наз-ся век-м прост-м над полем Р, а эл-ы мн-ва V – векторами = a, b,c,…x, y, если 1. (V, ό, +,-)- аддит-я абел-я группа, 2. (α*β)*a=α*(β*α), Ґα,βЄP,aЄV. 3. (α+β)*a=α*a+β*a, Ґα,βЄP,aЄV. 4. α*(a+b)=α*a+α*b, Ґa,bЄV,ҐαЄP. 5. 1*a=a, Ґa. Например, ариф-е вект-е прост-во n мерных векторов V=Pⁿ, мн-во C- к.ч. есть век-е прост-во над полем R действ-х чисел относ-о опер-й “+” к.ч. и “*” их на дейст-е число. Простейшие св-ва. Пусть V=(V,ό,+,-,ω_α) – вектор-е прост-во. Р – поле скаляров. Ґa,bЄV, Ґα, βЄP. 1. a+b=a => b=0. 2. 0*α=ό. 3. α*ό=ό. 4. a+b=ό => b=(-1)*a=-a. 5. α*a=α*b ^ α≠0 =>a=b. 6. α*a=ό => α=0 или a=ό. 7. α*a=β*a ^ a≠ό => α=β. Пусть V – вект-е прост-во над Р, a₁,a₂,…a_mЄV, с-а вект-в a₁,a₂,…a_m наз-ся лин-о незав-й, если α₁*a₁+α₂*a₂*…α_m a_m=ό возм-но при всех коэф-х = 0. a₁,a₂,…a_m – лин-но завис-ы, если α₁*a₁+α₂*a₂*…α_m a_m=ό возм-но хотя бы при 1 коэф-е α_i≠0. Вект-е прост-во наз-ся конечномерны, если оно породж-ся конечным мн-м вект-в или сущ-ют a₁,a₂,…a_mЄV, что V – лин-я оболочка порожд. этим мн-м V=L(a₁,a₂,…a_m). Базисом (базой) конеч-го век-го прос-ва наз-ся непуст-я конеч-я лин-но незав-я с-а векторов порожда-я это прост-во. ???не доконца.

Вопрос 12.

Линейные преобразования век-х прост-в.

Пусть u и v векторные простр-ва над полем Р. Отобр-е φ: uv наз-ся лин-м отображ-м или гомоморфизмом, если Ґа,bЄu,ҐαЄP: 1. φ(a+b)=φ(a)+φ(b). 2. φ(αa)=αφ(a). Если бы лин-е отоб-е u на v было бы биективным, то тогда его наз-и бы изоморфизмом вект-х прост-в. Мн-во всех лин-х отображ-й прост-ва u в v обозн-ся Hom(u,v). Св-ва. 1. Всякий лин-й опер-р φ в прост-ве v оставл-т неподвижный нулевой вектор,т.е.φ(ό)= ό. 2. φ(-x)=-φ(x). 3. Всякий лин-й опре-р φ в прост-ве v переводит Ґ лин-ю комбин-ю произвольно выбранных вект-в a₁,a₂,…a_m прост-ва V прост-ва в лин-ю комбин-ю образов этих вект-в, причем с теми же самыми коэф-ми, т.е. φ(α₁a₁+α₂a₂+…α_ma_m) = α₁φ(a₁)+α₂(a₂)+…+α_mφ(a_m). Док-во. Применим метод мат-й индукции. 1) Проверим справ-ть при m=2. φ(α₁a₁+α₂a₂) = φ(α₁a₁)+φ(α₂a₂) = α₁φ(a₁)+α₂(a₂). 2) Предположим справ-ть утвер-я для m-1 вектора, т.е. φ(α₁a₁+α₂a₂+…α_m-1a_m-1) = α₁φ(a₁)+α₂(a₂)+…+α_m-1φ(a_m-1). 3) Док-м справ-ть данного утвер-я для m век-а, т.е. φ(α₁a₁+α₂a₂+…+ α_m-1a_m-1+α_ma_m) = φ[(α₁a₁+α₂a₂+…α_m-1a_m-1)+ α_ma_m] = φ(α₁a₁+α₂a₂+…α_m-1a_m-1) + φ(α_ma_m) = α₁φ(a₁)+α₂(a₂)+…+α_m-1φ(a_m-1)+α_mφ(a_m). 4. Совокупность L всех образов φ(a) вектора а вектор-го простр-ва v, получ-е при данном преоб-ии φ, есть некоторое подпростр-во вект-го простр-ва v.

Пусть φ некоторая лин-я опре-я прос-ва v_n. Выберем в прос-ве v_n некот-й базис e₁,e₂,…e_n. Тогда опре-р φ переводит век-ы базиса в векторы φ(e₁),φ(e₂),…φ(e_n). Каждый из этих век-в ! образом выраж-ся через век-ры базиса: φ(e₁) = α₁₁*e₁+α₂₁*e₂+…+α_n1*e_n, φ(e₂) = α₁₂*e₁+α₂₂*e₂+…+α_n2*e_n,… φ(e_n) = α_1n*e₁+α_2n*e₂+…+α_nn*e_n. Матрица A_φ= k–й столбец которой явл-ся коорд-ми