Реферат: Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

Совокупность φ(v_n) образов всех век-в прост-ва v_n при действии оператора φ наз-ся областью значений опер-ра φ. Размерность области значений φ(v_n) наз-ся рангом лин-го опер-а φ. Ядром линей-го опер-а φ прост-а V_n наз-ся совокупность всех век-в прост-ва V_n отображ-ся операторов φ в нулевой вектор т. Ker φ= {aЄV_n|φ(a)=т}. Размерность ядра Ker φ опер-ра φ прост-ва V_n наз-ся дефектом этого опер-ра. Сумма ранга и дефекта лин-го опер-а φ прост-ва V_n = размерности этого прост-ва. Если век-р b ≠0 переводится оператором φ в пропорц-й самому себе,т.е. φ(b) = λ₀b, где λ₀ – действ-е число, то b наз-ся собст-м вектором опер-а φ, а λ₀ собственным знач-м этого опер-ра. Причем гов-т, что собст-й век-р b относ-я к собств-у знач-ю λ₀. Нулевой век-р не считается собственным для опер-ра . Матрица А-λЕ, где Е един-я матрица n пор-ка наз-ся харак-й матрицей матрицы А (по главной диагонали от Эл-в «-«λ). Многочлен n степени |А-λЕ| наз-ся харак-м мног-м матрицы А, а его корни, которые могут быть как компл-е так и действ-е, наз-ся характер-ми корнями этой матрмцы. λ₀ЄR был собств-м значением лин-го опер-а φ  λ₀ было характ-м корнем опер-ра φ. Лин-е преоб-е наз-ся невыроженным, если определитель матрицы А≠0. Рассм-м преоб-е x₁=y₁,…x_n=y_n (I). Это преоб-е наз-ся тождеств-м. Оно ведет себя точно также как число 1 при арифм-м умнож-и,т.е. (ҐS) S*I=I*S=S. Т.е. преоб-е I это нейтр-й эл-т относ-о умнож-я преоб-я. Обратным преоб-м преобразованию S наз-ся преоб-е S^-1 такое, что S*S^-1=S^-1*S=I. Подпрост-во L явл-ся инвариантным относ-о преоб-я φ пространства V_n, если образ Ґ век-ра из снова есть вектор L.

Вопрос 13.

Определители.

Опред-м (детерминантом) n-го порядка составл-м из n² чисел матрицы А наз-ся алгеб-я сумма всевозм-х членов, каждый из которых представл-т собой произвед-е n эл-в, каждый из которых взят по 1 из каждой строки и столбца, взятый со знаком (-1)^t , где t число инверсий перестановки вторых индексов, при усл-и, что первые индексы расположены в натуральном порядке. Δ=Σ(-1)^ta_1αa_2β…a_nω, α,β,…ω n! перестан-к 1,2,…n. Правило Саррюса.

Св-ва опред-й. 1. Равноправность сторк и столбцов (транспонирование). 2. Опред-ль n-го порядка, у которого 2 строки (2 столбца) одинаковы =0. 3. Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-ля n порядка * на одно и то же число m, то и значение опред-я *m. 4. Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-я n-го пор-ка облад-т общим множителем, то его можно вынести за знак опред-ля. 5. Опред-ль n-го пор-ка, у которого Эл-ты 2-х строк (столбцов) соответ-о пропорциональны ,=0. 6. Если все Эл-ты k строки (столбца) опред-я n-го пор-ка явл-ся суммой 2-х слагаемых, то такой опред-ль = сумме 2-х опред-й n-го пор-ка. В одном из них k-я строка (столбец) состоит из первых слаг-х, а в другом - из вторых слаг-х, все остальные строки (столбцы) те же, что и в данном опред-е. 7. Если в опред-е какая-либо строка есть линейная комбинация других строк, то такой опред-ль =0. 8. Если к Эл-м какой-либо строки (столбца) опред-я n-го пор-ка прибавить соответ-ие Эл-ты другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число, то значение опред-я не изменится. 9. Если поменя?