Реферат: Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит.
Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож, умнож, вычит, деление(кроме деления на 0).

Впопрос 1.
Система натуральных чисел. Принцип мат. Индукции.

Аксиомы Пиано: 1.В N cущ. ! элем. a’ непосредст. следующий за а. 2.Для люб-го числа а из N сущ-т ! эл-т а’ непосредственно следующий за а. 3. Для люб. элем-та из N сущ. не более 1 эл-та за которым непосредственно следует данный эл-т. 4. Пусть М ċ N и выполн-ся: 1. 1€ М 2. если а€М след-но а’€M тогда М=N

опр: Любое множество N для эл-тов которого установлено отношение ‘непосредственно следовать за’ удавлет-щее аксиомама Пиано наз-ся множеством натуральных чисел.

Алгебр-ие операц-и на N: 1. Сложение – это алг. опер-я определенная на N и обладающая свойствами: 1.(для люб. а) а+1=а’ 2. (для люб. а,b) a+b’= (a+b)’ (a+b-сумма, а,b -слогаемые) Т.Сложение нат. чисел сущ и !. 2. Умножение: 1. для люб а а*1=а 2. для люб а,b a*b’=ab+a T/ Умножение нат чисел сущ. и !.

Свойства сложения: 1. для люб. а,bˆN a+b=b+a (комут-ть) 2. Длб люб. a,b,cˆN (a+b)+c=a+(b+c) (ассац-ть)

Свойства умнож-я: 1.(Для люб. а,bˆN) ab=ba 2. (для люб. a,b,c ˆN) (ab)c=a(bc) 3.(a,b,cˆN) a(b+c)=ab+ac

Операции вычитания и деления лишь частично выполняются на N. Отношение порядка на N: На N введем отношение ‘<’ cледующим образом: a

Принцип мат. индукции и его формулировки: 1. Если некоторое утвержд. А(n) с натураль. переменной n справедливо при n=1 и из справедливости при n=k следует справедливость при n=k+1 , то даное утверждение справедливо при любом nˆN.

2. Если некоторое утвер-е А(n) справедлино при n=1 и из справедливости его для всех n

3. Если А(n) справедливо при n=a и из справ-ти при n=k следует его справ-ть при n=k+1, то данное утверж-е будет справедл-во при na.

Cвойства N: 1. N-упорядоченное. 2. N линейно упорядоченное (т.е.вероно только одно ab.) 3Сложение монотонно на N 4. Умножение монотонно. 5. N бесконечное и ограниченное снизу еденицей. 6. Любое непустое подмножество множ. N содержит наименьший эл-т. 7. N дискретно 8 Выполняется принцип Архимда (Va,bˆN) (сущ. nˆN) a*n>b

Вопрос 2.

Простые числа. Беск-ть мн-ва простых чисел. Канонич. разложение составного числа и его !.

Всякое число р€N, р>1 не имеющее др. натур-х делит-й, кроме 1 и р, наз-ся простым. Всякое число р€N≠1 и не явл-ся простым, наз-ся составным. Число 1 не явл-ся ни простым, ни сост-м. Мн-во N можно разбить на: простые, сост-е и 1. Св-ва: 1. Наим-й делитель всякого нат-го числа есть число простое. 2. Нат-е число n и простое число р либо взаимнопростые, либо р|n. 3. Если р-простое и р|a₁*a₂*…*a_n , то р|a₁ или р|a₂ …или р|a_n. 4. Если р|р₁*р₂*…*р_n и р, р₁, р₂… р_n – простые числа, то р=р₁ или р=р₂ или… р=р_n.

Наим-й простой делитель нат-го числа n не превос-т √n. Док-во: пусть р-наим-й простой дел-ль n. Покажем р≤√n. р|n => n=р*q (1), р≤q. Заменим в (1) q на р: n≥р², т.к. р²≤n, р≤√n. ■

Всякое нат-е число n>1 либо явл-ся простым, либо м.б. предст-а в виде произв-я простых множ-й n=р₁*р₂*…*р_r, r≥1 (1) и (1) явл-ся ! с точностью до порядка следования множ-й. (1) наз-ся разл-м числа n на простые множ-ли. Док-во: 1. док-во сущ-я предст-я (1): Если n –число простое, то ■. Пусть n-сост-е и р₁ его натур-й дел-ль. Как было док-но р₁ число простое и можно записать: n=р*n₁, где р≤n₁. Если n₁ число простое, то ■; если n₁ сост-е, то р₂ – его наименьший простой делитель. n₁=р₂*n₂, n=р₁*р₂*n₂. Если n₂ сост-е, то рассуждаем аналог. Это можно прод-ть пока не придем к какому-либо n_s=1. То, что после конечного числа шагов такое n_s должно получ-ся => из того, что n>n₁>n₂>…>n_s мн-во нат-х чисел, т.е. все эти числа меньше n. Итак, через конеч-е число шагов число n можно пред-ть в виде (1). 2. Док-во !: Предпол-м, что сущ-т 2 разлож-я числа n на простые множ-ли n=p₁*p₂*…*p_r и n=q₁*q₁*…*q_s, где р₁, …р_r, q₁,…q_s простые числа. p₁*p₂*…*p_r= q₁*q₂*…*q_s. Нужно показ-ть r=s. Левая часть делит-ся на р₁ => на р₁ делит-ся и правая часть. Учит-я, что в правой части стоят также простые числа, то по свойству простых чисел р совпадает с одним из них. Пусть р₁=q₁, тогда после сокращ-я: p₂*…*p_r= q₂*…*q_s. Аналог. рассуж-я, убеждаемся, что р₂ совп-т с одним из множ-й q. Пусть р₂=q₂, после сокр-я: p₃*…*p_r= q₃*…*q_s и т.д. Предпол-м, что r≠s. Пусть rr₊₁*…*q_s, но это равен-во невозм-но, т.к. произв-е простых чисел ≠1. Итак, r=s и представ-е (1) ! с точностью до порядка следования множ-й.■

N=p₁ ^α1* p₂ ^α2*… *p_k ^αk – каноническое разлож-е числа n на простые множ-ли. Показ-т, что все делители числа n исчерпыв-ся числами вида p₁ ^β1* p₂ ^β2*… *p_k ^βk, где 0≤β₁ ≤α₁, …0≤β_к ≤α_к.

Теорема Евклида: мн-во сех простых чисел бесконечно.

Решето Эратосферна. Выписать все нат-е числа от 2 до m из них вычеркивают каждое второе после простого числа 2. Первым не зачеркнутым числом остается простое число 3. Теперь выч-т каждое 3-е число, причем считают и те числа, кот. выч-ты ранее и т.д. После выч-я всех чисел кратных простому числу р_n первое не зач-е число будет простым – р_n+1. р_n+1- простое число, т.к. иначе оно имело бы простой делит-ль ≤р_n, но все числа кратные простым ≤р_n уже вычеркнуты. Поэтому выч-е кратные простому числу р_n+1 следует начинать с (р_n+1)² и состав-е таблиц простых чисел ≤m => считать закон-м как только найдено число >√m.

Вопрос 3.

Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух чисел.

На N вып-ы опер-и “+” и “*”, но опер-я “-” вып-ся частично, т.е. ур-е а+х=в в N не всегда разреш-о. Это одна из причин разширения N. При расщ-и одной с-ы чисел до др-й должны вып-ся несколько треб-й: 1) NЄZ. 2) +,* должны вып-ся в Z, причем рез-ы опер-й для чисел из N в N и Z должны совп-ть. 3) +,* - комут-ы, ассоц-ы и связ. дистр-м законом. 4) в Z должна вып-ся опер-я “-”. т.е. ур-е а+х=в одноз-о разрешимо в Z для люб-х а,вЄZ. 5) Z должно быть миним. расш-м из всех расш-й мн-ва N облад-е св-ми 1-4.

Число в делит а, если сущ-т qЄZ, что а=b*q. Отношение “b делит а” наз-ют отношением делимости и зап-т b|а. Св-ва: 1) (Ґа)(а|a). 2) (Ґa,b,c)(a|b^b|c=>a|c). 3) (Ґа)(а|0). 4) (Ґа)(0ła). 5) (Ґа)(1|a^-1|a). 6) a|b^b|a=> b=±a. 7) (Ґx)(а|b=>a|b*x). 8) (Ґx₁,x₂,…x_r)(b|_a1^b|a₂…^b|a_r=>b|(x₁a₁+x₂a₂+…+x_ra_r)).9)(Ґа,b)(b|a=>|b|0^b>0=>bb|(-a)=>(-b)|a.

Теорема о делении с остатком. Разделить целое число a на bЄZ, это значит найти 2 таких q и rЄZ, что a=b*q+r (1) 0≤r<|b|, q- неполное частное, r-остаток. (Ґa,bЄZ^b#0 сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0≤r<|b|). Док-во: 1) Возм-ть дел-я с ост-м. 2 случая: 1. aЄZ, b>0, т.е. bЄN. Рассм. всевоз-е кратные числа b.Пусть b*q наиб. кратные числа b не превыш-е a, т.е. b*q≤a0, т.е. –bЄN и имеем случай 1. т.е. сущ-т q,rЄZ, что a=(-b)*q+r, 0≤r<|-b| => a=b*(-q)+r, 0≤r<|b|. 2) !-ть дел-я. Пусть деление a на b не !, т.е. сущ-ют 2 неполных частных q₁, q₂ и два остатка r₁, r₂, тогда a=b*q₁+r₁, 0≤r₁<|b|, a=b*q₂+r₂, 0≤r₂<|b|. b*q₁+r₁=b*q₂+r₂; b*(q₁-q₂)=r₂-r₁ => b|(r₂-r₁). Но т.к. 0≤r₁<|b| и 0≤r₂<|b| => |r₂-r₁|<|b|. b|(r₂-r₁)^ |b|>|r₂-r₁| => r₂-r₁=0. т.е. r₁=r₂, но и тогда q₁=q₂.■ Следствие. ҐaЄZ^bЄN сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0≤r

Общим делителем чисел a₁,a₂,…a_r наз-ся такое число c, что с|a₁^ с|a₂^…с|a_r. c=ОД(а₁,а₂,…а_r). НОД (а₁,а₂,…а_r) наз-ся такой их общий дел-ль d, кот делится на всякий др. общ дел-ль. чисел а₁,а₂,…а_r. Обозн. d=НОД(а₁,а₂,…а_r). Итак, d=НОД(а₁,а₂,…а_r)  1. d| а₁^d|а₂^…d|а_r. 2. c=ОД(а₁,а₂,…а_r) => с|d.

Алгоритм Евклида. Пусть Ґa,bЄZ, b#0. т.к. отнош-е делимости сохр-ся при измен-и знаков чисел, то НОД(a,b)=НОД(a,-b). Поэтому огран-ся случ-м aЄZ, bЄN. Делим a на b c остатком a=b*q+r₁. Если r₁=0, т.е. a=b*q, то НОД(a,b)=b. Пусть r#0, 011 c остатком. Если r₂ – остаток, то делим r₁ на r₂ и т.д. Получ сов-ть равенств: a=b*q+r₁, 011*q₁+r₂, 021; r₁=r₂*q₂+r₃, 032; … r_n-2=r_n-1*q_n-1+r_n, 0nn_-1; r_n-1=r_n*q_n. Этот процесс явл-ся конеч, т.к. мы имеем ряд убыв-х целых, кот. фвл-ся неотриц. т.е. непременно придем к остатку на кот-й разд-ся предыд. остаток. Последние рав-ва наз-ют алгор. Евклида для чисел (a,b). Св-ва НОД. 1. Последний не равный 0 остаток в алгоритме Евклида явл-ся НОД(a,b). 2. (ҐmЄN) НОД(a*m,b*m)=m*НОД(a,b).3.m|a^m|b=>НОД(a/m,b/m)=(НОД(a,b))/m. Числа а₁,а₂,…а_r наз-ся взамно-простыми числами, если НОД(а₁,а₂,…а_r)=1. Всякое целое число, кот. делится и на a, и на b, наз-ся общим кратным делителем. Наим. из всех натур-х ОК наз-ся НОК. Св-ва НОК: 1. НОК(a,b)= их произведению, деленному на НОД. 2. Совокуп-ть ОК 2-х чисел совп. с совокуп-ю кратных их НОК. 3. Числа (НОК(a,b)/a) и (НОК(a,b)/b) взаимно-просты. 4. Если a,b вз.-пр., то НОК(a,b)=a*b. 5. (ҐmЄN) НОК(a*m,b*m)=НОК(a,b)*m.

Нахождение НОД и НОК Чтобы найти НОД нужно взять произведение общих простых множ-й, вход-х в канонич-е разлож-е этих чисел, причем каждый такой простой множ-ль нужно взять с наим. показ-м. НОК тоже самое, но каждый множ-ль взять с наиб. показ-м.

Вопрос 4.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--