Реферат: Системи координат декартова полярна циліндрична сферична Довжина і координати вектора Век

Дійсно, ми можемо записати

І, навпаки, нехай один із векторів, наприклад , розкладений в лінійну комбінацію інших векторів:

Звідси безпосередньо видно, що лінійна комбінація векторів з коефіцієнтами –1, дорівнює нульовому вектору. Оскільки вона нетривіальна, то вектори лінійно залежні. Теорема доведена.

Довільних два колінеарних вектори лінійно залежні, і навпаки, два лінійно залежних вектори колінеарні.

Довільних три компланарних вектори лінійно залежні, і навпаки, три лінійно залежні вектори компланарні.

Кожних чотири вектори лінійно залежні.

Ці твердження пропонуємо читачеві довести самостійно.

3 . Декартова система координат

Зафіксуємо в просторі точку і розглянемо довільну точку

Радіус-вектором точки по відношенню до точки називається вектор Якщо в просторі, крім точки вибраний деякий базис, то точці можна співставити впорядковану трійку чисел – координати його радіус-вектора.

Означення. Декартовою системою координат в просторі називається сукупність точки і базису.

Точка носить назву початку координат ;прямі, що проходять через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями координат . Перша – віссю абсцис , друга – віссю ординат, третя – віссю аплікат . Площини, що проходять через осі координат, називаються координатними площинами.

Означення. Координати радіус-вектора точки по відношенню до початку координат називаються координатами точки в розглядуваній системі координат .

Перша координата називається абсцисою , друга – ординатою , третя – аплікатою .

Детальніше про метод координат можна ознайомитися в п.3.1.

Означення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори одиничні (довжина кожного дорівнює одиниці) і попарно перпендикулярні. Декартова система координат, базис в якої ортонормований, називається прямокутною декартовою системою координат (ПДСК). В цьому випадку, як правило, вектори базису позначають

Розглянемо тепер проекцію вектора на координатні осі системи координат (рис.2.5).

На рис.2.5 вектор замикає ламану , тобто

.

Це означає, що будь-який вектор можна розкласти на суму трьох доданків, що лежать на осях координат. Ці три доданки є проекціями вектора на координатні осі.

Вектори називаються компонентами

(координатами ) даного вектора відносно системи координат

.

Введемо в розгляд одиничні вектори осей координат . Нехай проекції вектора на координатні осі дорівнюють відповідно . Тоді .

Тому

(2.1)

Якщо в системі координат задано вектор своїм початком і кінцем , то (рис.2. 6)

(2.2)