Реферат: Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги

,(30)

тобто складається із середнього числа заявок, що находять за середній час обслуговування однієї заявки і середнього числа заявок, що очікують у черзі.

3. Функція розподілу часу очікування початку обслуговування

Нехай є випадкова величина часу, який заявка чекає у СМО до початку обслуговування. Необхідно визначити функцію розподілу цієї величини, тобто . Якщо використати визначення функції розподілу, то матимемо:

.

Знайдемо при умові, що час очікування обслуговування є випадкова подія, коли усі канали вільні, чи коли зайнятий хоча б один з каналів, тобто

.

Таким чином

(31)

Тепер обчислимо . По-перше, позначимо ймовірність того, що за час обслуговуватиметься більше ніж заявок, при умові, що зайняті усі каналів. Крім того, оскільки потік обслуговування заявок є пуассонівським з параметром , то ймовірність обслуговування заявок одним каналом обчислюється за формулою .

Якщо на обслуговуванні два канали, тоді кожний канал обслуговує одну заявку незалежно від другого. Отже ймовірність того, що заявок будуть обслужені двома каналами обчислюється за формулою суми двох незалежних подій

.

Далі, продовжуючи аналогічні міркування, можна записати таку формулу для ймовірності обслуговування за час заявок, якщо каналів зайняті:

(32)

Таким чином, якщо врахувати (32)

(33)

Обчислимо ймовірність за умови (33):

(34)

.

В останній рівності поміняємо порядок сумування змінних і . Тоді (34) можна записати у вигляді:

.

Тепер можна записати значення :

(35)

Враховуючи (31) і (35) до рівності (28) маємо вираз для функції розподілу часу очікування початку обслуговування у вигляді

(36)