Реферат: Системы базисных функций

Пример Определим спектральную плотность низкочастотного шума корреляционная функция которого имеет вид:

Спектральная плотность при этом равна:

Проверка: Выполним обратное преобразование

Определим оригинал как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции

,

где s_k – значения полюсов; n – количество полюсов; m – кратность полюсов.

При этом, корреляционная функция равна

2. Дискретное преобразование Фурье

В цифровой технике для обработки дискретной информации широко используются ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. При этом, используются комплексные экспоненциальные СБФ, для которых характерны свойства ортогональности, ортонормированности, полноты и мультипликативности

, при k = m+n. (9)

Ряд Фурье может быть представлен в виде

(10)

где nT ( или n) – дискретное время; (2 p /N) k – круговая частота w .

Если учесть что x(n)=0 при n<0 то, можно изменить пределы суммирования.

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:

0 £ k £ N‑1 (11)

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), т.е. спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:

0 £ n £ N‑1 (12)

где N – количество отсчетов N=T/ D t+1; T - интервал времени; D t – шаг дискретности; n – номер отсчета.

Для сокращения записи преобразований введен поворачивающий множитель:

. (13)

Дискретное преобразование Фурье удобно представить в матричной форме:

, (14)

где X – вектор отсчетов сигнала; x – вектор спектральных коэффициентов; W – квадратичная матрица (N ´ N) отсчетов базисных функций; W^-1 – обратная W ;

(15)