Реферат: Системы базисных функций

Если число точек N небольшое или большое число точек с нулевыми значениями, то целесообразно использовать ДПФ, в противном случае целесообразно использовать так называемое быстрое преобразование Фурье (БПФ). Сущность БПФ заключается в прореживании исходной выборки сигнала по времени – n или по частоте – k .

При этом, для вычисления спектральных коэффициентов требуются одни и те же промежуточные спектры, что существенно сокращает объем вычислений. В некоторых случаях оказывается удобная БПФ с прореживанием по времени, в других случаях по частоте.

Пример 4 . Определить дискретную спектральную плотность, если спектральная плотность непрерывного сигнала равна

.

Решение: Алгоритм решения задачи можно представить в виде

.

1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию

2. Определим дискретную корреляционную функцию

Определим дискретную спектральную плотность

4. Определим дискретную спектральную плотность в форме Z ‑преобразования, выполнив подстановку z = e^pT .

Проверка: Определим дискретную корреляционную функцию

Для выражения спектральной плотности определим значения полюсов – z _k , их количество и кратность – m

Используя теорему Коши о вычетах, корреляционную функцию можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции

Так как корреляционная функция является четной, то ее можно представить в виде

Выводы

При реализации алгоритмов БПФ возможно распараллеливание вычислений (специализированные процессоры), что позволяет ускорить выполнение преобразований.

Области применения дискретного преобразования Фурье:

дискретный спектральный анализ;

моделирование цифровых фильтров;

распознавание образов;