Реферат: Системы с ожиданием

Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

вероятность второго события

Таким образом,

Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

(3)

Перейдем теперь к составлению уравнений для P_k (t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 £ k < m и k ³ m. Пусть вначале 1 £ k < m. Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние E_k в момент t+h. Эти состояния таковы:

В момент t система находилась в состоянии E_k , за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии E_k-1 , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии E_k+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние E_k за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:

Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению для 1 £ k < m:

(4)

Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

`(5)

Для определения вероятностей P_k (t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Ее решение представляет несомненные технические трудности.

3. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ®¥. Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут нами установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения P_k . Заметим дополнительно, (этого мы также сейчас не станем доказывать), что при t®¥.