Реферат: Скалярний добуток двох векторів його властивості Векторний добуток його властивості Змішаний

Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів, його властивості.

План

• Скалярний добуток векторів.
• Властивості скалярного добутку.
• Скалярний добуток векторів, заданих координатами.
• Векторний добуток векторів.
• Властивості векторного добутку.
• Векторний добуток векторів, заданих координатами.
• Змішаний добуток векторів.
• Змішаний добуток векторів, заданих координатами.

1. Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів і називається добуток довжин цих векторів на косинус кута, утвореного векторами, тобто

Тут символ означає кут між векторами. Нехай .

Тоді тобто скалярний добуток будь-якого вектора на одиничний вектор визначає величину проекції вектора на напрямок одиничного вектора.

Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію іншого на напрям першого.

Приклад. Під дією даної сили тіло перемістилося у даному напрямку на величину . Обчислити роботу сили (рис.2.12).

Рис.2.12

Р о з в ’ я з о к. Розкладемо силу на суму двох доданків : . Очевидно, робота суми сил дорівнює сумі складових сил. Але робота сили , перпендикулярної до напрямку шляху, дорівнює нулю, а робота сили , паралельної шляху, дорівнює добутку модуля сили на довжину шляху:

.

Але , тому остаточно одержимо

.

Скалярний добуток позначається одним з трьох способів:

.

Основні властивості скалярного добутку.

1⁰ .

Якщо то Якщо то або або або а у нульового вектора напрям - довільний.

2⁰ . - випливає зразу з означення .

3⁰ .

4⁰ . .

Нехай Тоді

,

бо добутки взаємно перпендикулярних одиничних векторів дорівнюють нулю, а добутки паралельних однаково спрямованих одиничних векторів дорівнюють одиниці.

Отже,

, (2.9)

тобто дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів.

Якщо , то з (2.9) маємо

(2.10)

Тому (2.11)

З формули (2.10) маємо . (2.12)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--