Реферат: Скалярний добуток двох векторів його властивості Векторний добуток його властивості Змішаний

З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні).

Умови колінеарності двох векторів і виглядає так:

і, зокрема, .

Умову колінеарності можна виразити і так: , де - числовий множник.

Розглянемо векторний добуток векторів, заданих координатами.

Користуючись означеннями векторного добутку, легко довести, що

Останні три рівності легко запам’ятати за схемою, зображеною на рис.2.14, рухаючись у напрямку, показаному стрілками. Якщо рухатись

Рис.2.14

у протилежному напрямку, то матимемо

.

Нехай .

Тоді

.

Враховуючи таблицю одиничних ортів, одержимо

.

Отже,

. (2.15)

Основні властивості векторного добутку.

1⁰ . (ця властивість доведена раніше).

2⁰ . .

Доведення цієї властивості випливає з рівності (2.15). Справді, в результаті перестановки множників у добутку 2-й і 3-й рядки визначника в (2.15) поміняються місцями, а це означає, що знак визначника зміниться.

3⁰ . і .

Ці рівності теж легко доводяться на основі рівності (2.15).

4⁰ .

Читачеві пропонується довести цю властивість самостійно.

Приклад . Знайти віддаль від точки до прямої,

що проходить через точку паралельно вектору .

Р о з в ’ я з о к. На векторах і побудуємо паралелограм (рис.2.15). Оскільки згідно з означенням векторного добутку площа паралелограма чисельно дорівнює модулю векторного добутку векторів і , то .

Отже,

.

Тому

.

Оскільки , то

Але .

Тепер вже легко записати, чому дорівнює .