Реферат

На тему «Сложение колебаний»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Векторная диаграмма

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Сло­жение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится нагляд­ным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой .

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x . Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во вращение с угло­вой скоростью щ₀ , то проекция конца вектора будет перемещать­ся по оси x в пределах от —А до +A , причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с ам­плитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с на­чальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого рав­на амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических коле­баний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебаниебудет суммой колеба­ний х₁ и x₂ , которые определяются функциями

, (1)

Представим оба колебания с помощью векторов A₁ и А₂ . Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А . На рисунке вид­но, что проекция этого вектора на ось x равна сум­ме проекций складываемых векторов:

Поэтому, вектор A представляет собой резуль­тирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ₀ , как и векторы А₁ и А₂ , так что сумма x₁ и х₂ является гармоническим колебанием с частотой (щ₀ , амплитудой A и начальной фа­зой б. Используя теорему косинусов получаем, что

(2)

Также, из рисунка видно, что

(3)

Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины x и y , изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой щ по гармони­ческому закону, то

(1)

Где e_x и e_у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины

, (2)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз обоих колебаний. Выражения (2) пред­ставляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравне­ние траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравне­ния следует, что

(3) Соответственно (4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--