Реферат: Случайное событие и его вероятность

; .

Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .

Принимая во внимание определение предела, получаем ;

3) Функция непрерывна слева в любой точке ,

Доказательство. Пусть — любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать:

На основании аксиомы 3

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке ряда)

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим

,

откуда или , а это означает, что .

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию и . И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа , вычисляется по формуле .

Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух несовместных событий и . Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова или , откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения имеет при скачок , если , где и пределы слева и справа функции распределения в точке .

Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула

Доказательство. Приняв в формуле (3) , и перейдя к пределу при , , согласно свойству 3), получим искомый результат. Можно показать, что функция может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка , скачков — не более 3-х, скачков не более чем .Иногда поведение случайной величины характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения .