Реферат: Случайные величины в статистической радиотехнике

Событие А называется зависимым от события Б , если вероятность события А меняется от того, произошло событие Б или нет.

Вероятность события А , вычисленная при условии, что имело место другое событие В , называется условной вероятностью события А и обозначается P (А /В ).

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место :

.

Пусть возможные исходы опыта сводятся к N случаям, которые для наглядности даны в виде символов на рис. 2.

Рис. 2

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию Б – k случаев. Так как не предполагались события А и Б совместными, то существуют случаи, благоприятные и событию А , и событию Б одновременно. Пусть число таких случаев l . Тогда P (АБ ) = l /N ; P (A ) = m /N . Вычислим P (Б /А ), т.е. условную вероятность события Б в предположении, что А имело место. Если известно, что событие А произошло, то из произошедших N случаев остаются возможными только те из m , которые благоприятствовали событию А . Из них l случаев благоприятны событию Б . Следовательно, P (Б /А ) = l /m . Подставляя выражения P (АБ ), P (A ) и P (Б /А ) в формулу вероятности произведения двух событий, получим тождество.

Следствие Если событие А не зависит от события Б , то и событие Б не зависит от события А .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий.

4. Формула полной вероятности . Формула полной вероятности является следствием обеих теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А , которое может произойти вместе с одним из событий H ₁ , H ₂ ,…, H_N , образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Тогда

,

т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Эта формула носит название формулы полной вероятности .

Так как гипотезы H ₁ , H ₂ ,…, H_N образуют полную группу событий, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: А = H ₁ А + H ₂ А + …+ H_N А. Так как гипотезы H ₁ , H ₂ ,…, H_N несовместны, то и комбинации H ₁ А, H ₂ А , … H_N А также несовместны. Применяя к ним теорему сложения, получим:

.

Применяя к событию H_i А теорему сложения, получим искомую формулу.

5. Теорема гипотез (формула Байеса). Имеется полная группа несовместных гипотез H ₁ , H ₂ ,…, H_N . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно P (H ₁ ), P (H ₂ ), …, P (H_N ). Произведем опыт, в результате которого будет наблюдаться появление некоторого события А . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу, идет речь о том, как найти условную вероятность для каждой гипотезы после проведения эксперимента.

Из теоремы умножения имеем:

, (i = 1, 2, …, N ).

Или, отбрасывая левую часть, получим

, (i = 1, 2, …, N ),

откуда

, (i = 1, 2, …, N ).

Выражая P (А ) с помощью формулы полной вероятности, имеем:

, (i = 1, 2, …, N ).

Эта формула и носит название формулы Байеса или теоремы гипотез. Используется она в теории проверки статистических гипотез (в частности, в теории обнаружения сигналов на фоне помех).