Реферат: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
Решение. Составим характеристическое уравнение:
|P – λ· E | == λ2 -5 λ+4=0
Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1 =1, λ2 =4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:
(P – λ1 E ) X =0 и (P – λ2 E ) X =0
В развернутом виде
и
Соответствующие однородные системы:
Общие решения систем:
и , где с1 , с2 є R
Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ1 =1, λ2 =4, имеет вид ; , где с1 , с2 є R. Векторы a1 =(1, 1), a2 =(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R2 .
Пусть e1 , e2 , …, en – собственные векторы линейного оператора в пространстве Rn , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e1 ), (e2 ), …, (en ) по базису e1 , e2 , …, en примет вид
Отсюда следует, что aij = λ i , если i=j и aij =0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:
Симметричный оператор
Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве Rn называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства Rn выполняется равенство
((x), y)= (x, (y))
Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.
Рассмотрим для простоты евклидово пространство R2 . Пусть в ортобазисе e1 , e2 заданы векторы x=(x1 , x2 ), y=(y1 , y2 ). Линейные операторы 1 и 2 определены своими матрицами:
и .
Вычислим векторы 1 (x) и 2 (y):
,
.
Найдем скалярные произведения ((x), y) и (x, (y)):
( (x), y)=(a11 x1 +a12 x2 ) y1 +(a21 x1 +a22 x2 ) y2 =a11 y1 x1 +a12 y1 x2 +a21 y2 x1 +a22 y2 x2 ,
(x, (y))= (b11 y1 +b12 y2 ) x1 +(b21 y1 +b22 y2 ) x2 =b11 x1 y1 +b12 x1 y2 +b21 x2 y1 +b22 x2 y2 .
Найдем разность скалярных произведений:
(( x ), y ) – ( x , ( y )) = ( a 11 - b 11 ) x 1 y 1 +( a 21 - b 12 ) x 1 y 2 +( a 12 - b 21 ) x 2 y 1 +( a 22 - b 22 ) x 2 y 2 .