Реферат: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

(( x ), y ) – ( x , ( y ))=0 (3)

Выполнено (необходимость), то верна система

a₁₁ =b₁₁ ,

a₂₁ =b₁₂ ,

a₁₂ =b₂₁ , (4)

a₂₂ =b₂₂ ,

и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Система равенств (4) означает, что ₁ =₂ =.

Ортогональность собственных векторов

Собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны.

Пусть x и y – собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам λ₁ и λ₂ , причем λ₁ ≠ λ₂ . По определению симметричного оператора:

((x), y)= (x, (y))

Подставив сюда правые части равенства ((x))= λ₁ x , ((y))= λ₁ y , получим

(λ₁ x , y)=( x , λ₂ y ) . Вынесем числа λ₁ и λ₂ , за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ₁ – λ₂ ) (x, y)=0

Поскольку λ₁ ≠ λ₂ , получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

1) Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.

2) Если в евклидовом пространстве Rⁿ задан симметричный оператор , то в Rⁿ существует ортонормированный базис e₁ , e₂ , …, e_n , составленный из собственных векторов .

3) Если все собственные числа λ₁ , λ₂ , …, λ _n симметричного оператора положительны, то ((x), x) > 0 для любого ненулевого вектора x.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij ) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r , все координаты которого строго положительны. Вектор e_r – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Список литературы

1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.

2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с.

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).