Реферат: Современные качественные исследования устойчивости

Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида

1. ?????????? ??????. ????? N ? ????????, ???????? ? ??????? D(N) ????????? ?????????????? ???????????? U ??? ????? ?????????????? ????? R, ? ??????? ???????? R(N) ??????????? ????????? ?????????????? ???????????? V ??? ????? R, ?.?.
? ?????????? ????? ??????????????, ??? ? ?????? ?????

существует производная Гато оператора N, определяемая формулой

(1)

Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

(2)

где -ограниченная область в, с кусочногладкой границей

в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.

Зададим область определения оператора N равенством

(3)

Здесь - заданные функции, - неизвестная функция. Числа зависят соответственно от . Если - четны, то При нечетном полагаем

Обозначим

Введем классическую билинейную форму вида где (4)

????? ????????, ??? ????????? (2) ????????? ?????? ???????????? ???????????? ?? ????????? D(N), ???????????? ?????????? ????? (4), ???? ?????????? ?????????? FN: D(FN )=D(N)?>R ?????, ???

Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через замыкание области , будем предполагать, что - выпуклое множество, , для любых фиксированных элементов функция

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности

??????? ?????????? ? ???? ?????? ????? ???:

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива

Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Современные качественные исследования устойчивости

Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.

?. ??????????????? ???????????????? ????????? ? ?????????????? ??????????? ???? (??????? ?????? ????????? (2))

с граничными условиями

Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим

Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--